Упр.1339 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

а) 5(x^2)^(1/3)/((x^2)^(1/3)+4^(1/3)); б) 2v(xy)/(x^(1/3)+y^(1/3));

а) Умножим числитель и знаменатель на выражение, дополняющее знаменатель до формулы суммы кубов:

$$ \frac{5\sqrt[3]{x^2}}{\sqrt[3]{x^2}+\sqrt[3]{4}} \cdot \frac{\sqrt[3]{x^4}-\sqrt[3]{4x^2}+\sqrt[3]{16}}{\sqrt[3]{x^4}-\sqrt[3]{4x^2}+\sqrt[3]{16}} $$

Тогда в знаменателе получим:

$$ \left(\sqrt[3]{x^2}+\sqrt[3]{4}\right)\left(\sqrt[3]{x^4}-\sqrt[3]{4x^2}+\sqrt[3]{16}\right) = x^2+4. $$

Числитель:

$$ 5\sqrt[3]{x^2}\left(\sqrt[3]{x^4}-\sqrt[3]{4x^2}+\sqrt[3]{16}\right) = 5x^2-5x\sqrt[3]{4x^2}+10\sqrt[3]{2x^2}. $$

Значит,

$$ \frac{5\sqrt[3]{x^2}}{\sqrt[3]{x^2}+\sqrt[3]{4}} = \frac{5x^2-5x\sqrt[3]{4x^2}+10\sqrt[3]{2x^2}}{x^2+4}. $$

б) Аналогично умножим числитель и знаменатель на выражение, дополняющее знаменатель до суммы кубов:

$$ \frac{2\sqrt{xy}}{\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{y}} \cdot \frac{\sqrt[3]{x^2}-\sqrt[3]{xy}+\sqrt[3]{y^2}}{\sqrt[3]{x^2}-\sqrt[3]{xy}+\sqrt[3]{y^2}} $$

Тогда

$$ \left(\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{y}\right)\left(\sqrt[3]{x^2}-\sqrt[3]{xy}+\sqrt[3]{y^2}\right)=x+y. $$

Числитель:

$$ 2\sqrt{xy}\left(\sqrt[3]{x^2}-\sqrt[3]{xy}+\sqrt[3]{y^2}\right) = 2\sqrt[6]{x^5y}-2\sqrt[6]{x^3y^3}+2\sqrt[6]{xy^5}. $$

Следовательно,

$$ \frac{2\sqrt{xy}}{\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{y}} = \frac{2\sqrt[6]{x^5y}-2\sqrt[6]{x^3y^3}+2\sqrt[6]{xy^5}}{x+y}. $$

Ответ

а) $$\frac{5x^2-5x\sqrt[3]{4x^2}+10\sqrt[3]{2x^2}}{x^2+4}$$

б) $$\frac{2\sqrt[6]{x^5y}-2\sqrt[6]{x^3y^3}+2\sqrt[6]{xy^5}}{x+y}$$