Упр.1332 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)
- Найдите значение выражения: а) $$a^{20}\cdot\left(a^{-4}\right)^5$$ при $$a=-4{,}37$$; б) $$a^{24}\cdot\left(a^{-6}\right)^4$$ при $$a=-\frac{3}{17}$$.
- При каких значениях $$?$$ из промежутка $$[0^\circ;90^\circ]$$: а) $$\sin(?)<\cos(30^\circ)$$; в) $$\cos(?)>\sin(60^\circ)$$; б) $$\sin(?)>\cos(45^\circ)$$; г) $$\cos(?)<\sin(45^\circ)$$?
Используем значения тригонометрических функций для основных углов:
$$\cos 30^\circ=\frac{\sqrt{3}}{2}, \quad \sin 60^\circ=\frac{\sqrt{3}}{2}, \quad \cos 45^\circ=\sin 45^\circ=\frac{\sqrt{2}}{2}.$$
$$\sin \alpha < \cos 30^\circ$$
$$\sin \alpha < \frac{\sqrt{3}}{2}$$
На промежутке $$[0^\circ;90^\circ]$$ функция $$\sin \alpha$$ возрастает, значит
$$0^\circ \le \alpha < 60^\circ.$$
$$\sin \alpha > \cos 45^\circ$$
$$\sin \alpha > \frac{\sqrt{2}}{2}$$
Так как $$\sin \alpha$$ возрастает на $$[0^\circ;90^\circ]$$, получаем
$$45^\circ < \alpha \le 90^\circ.$$
$$\cos \alpha > \sin 60^\circ$$
$$\cos \alpha > \frac{\sqrt{3}}{2}$$
На промежутке $$[0^\circ;90^\circ]$$ функция $$\cos \alpha$$ убывает, значит
$$0^\circ \le \alpha < 30^\circ.$$
$$\cos \alpha < \sin 45^\circ$$
$$\cos \alpha < \frac{\sqrt{2}}{2}$$
Так как $$\cos \alpha$$ убывает на $$[0^\circ;90^\circ]$$, получаем
$$45^\circ < \alpha \le 90^\circ.$$
Ответ
а) $$0^\circ \le \alpha < 60^\circ$$; б) $$45^\circ < \alpha \le 90^\circ$$; в) $$0^\circ \le \alpha < 30^\circ$$; г) $$45^\circ < \alpha \le 90^\circ$$.
