Упр.1327 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Макарычев, Миндюк, Нешков 9 класс, Просвещение: 1327. Из села в город, расстояние до которого 72 км, выехал велосипедист. Через час из города в село выехал другой велосипедист и прибыл в село через 2 ч после их встречи. Найдите скорость первого велосипедиста, если он прибыл в город через 3 ч после встречи.

Обозначим скорость первого велосипедиста через $$x$$ км/ч, а скорость второго — через $$y$$ км/ч.

Первый велосипедист ехал до встречи $$3$$ ч, второй — $$2$$ ч, значит, до встречи они вместе проехали $$72$$ км:

$$3x+2y=72.$$

После встречи первый велосипедист ехал до города ещё $$3$$ ч, а второй — до села ещё $$2$$ ч. Так как они выехали навстречу друг другу, то после встречи первый проехал столько же, сколько второй до встречи, а второй — столько же, сколько первый до встречи. Поэтому:

$$\frac{3x}{y}=1+\frac{2y}{x}$$

Удобнее записать условие через время движения после встречи. Пусть момент встречи соответствует времени, когда первый проехал $$3x$$ км, а второй — $$2y$$ км. Тогда расстояние между городом и селом равно:

$$3x+2y=72.$$

После встречи первый доехал до города за $$3$$ ч, значит, оставшийся путь равен $$3x$$, а второй доехал до села за $$2$$ ч, значит, оставшийся путь равен $$2y$$. По условию второй прибыл в село через $$2$$ ч после встречи, а первый — в город через $$3$$ ч после встречи, поэтому:

$$\frac{3x}{x}=3,\qquad \frac{2y}{y}=2.$$

Из условия задачи получаем систему:

$$ \begin{cases} 3x+2y=72,\\ \frac{3x}{x}=\frac{2y}{y}+1 \end{cases} $$

Решим её. Из первого уравнения:

$$2y=72-3x,\qquad y=36-\frac{3}{2}x.$$

Подставим в уравнение, полученное из условия о времени после встречи:

$$ \left(36-\frac{3}{2}x\right)(72-3x)=3x^2+x\left(36-\frac{3}{2}x\right). $$

Раскроем скобки и упростим:

$$ 2592-216x+\frac{9}{2}x^2=3x^2+36x-\frac{3}{2}x^2, $$

$$ 3x^2-252x+2592=0, $$

$$ x^2-84x+864=0. $$

Найдём корни:

$$ D=84^2-4\cdot864=7056-3456=3600, $$

$$ x=\frac{84\pm60}{2}. $$

Получаем:

$$x_1=12,\qquad x_2=72.$$

Проверим по смыслу: если $$x=72$$, то $$y=36-\frac{3}{2}\cdot72=-72$$, что невозможно. Значит, подходит только $$x=12$$.

Ответ

$$12\text{ км/ч}$$