Упр.1324 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)
- Задание учебника 2026 года. Найдите значение выражения наиболее удобным способом:
а) $$\left(29{,}81^2-0{,}19^2\right)-\left(17{,}31^2-12{,}69^2\right)$$;
б) $$\left(25{,}66^2-5{,}66^2\right)+\left(7{,}84^2-12{,}16^2\right)$$. - Задание учебника 2023 года. Найдите область определения функции:
а) $$y=\sqrt{\sin(-x)\cos(x)}$$;
б) $$y=\sqrt{-\sin(x)\cos(-x)}$$.
Для существования корня нужно, чтобы подкоренное выражение было неотрицательным.
а) $$y=\sqrt{\sin(-x)\cos x}$$
Так как $$\sin(-x)=-\sin x,$$ а $$\cos(-x)=\cos x,$$ то
$$\sin(-x)\cos x\ge 0.$$
Используем тождество $$\sin(-x)\cos x=\sin(-x)\cos(-x).$$ Тогда достаточно рассмотреть знаки синуса и косинуса. Произведение неотрицательно, когда оба множителя одного знака:
$$\begin{cases} \sin(-x)\ge 0,\\ \cos(-x)\ge 0 \end{cases} \quad \text{или} \quad \begin{cases} \sin(-x)\le 0,\\ \cos(-x)\le 0 \end{cases}$$
Отсюда получаем:
$$\frac{\pi}{2}+\pi n \le x \le \pi+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
б) $$y=\sqrt{-\sin x\cos(-x)}$$
Так как $$\cos(-x)=\cos x,$$ то
$$-\sin x\cos(-x)\ge 0 \iff -\sin x\cos x\ge 0 \iff \sin x\cos x\le 0.$$
Произведение $$\sin x\cos x$$ неположительно, когда синус и косинус разных знаков. Это выполняется при
$$\frac{\pi}{2}+\pi n \le x \le \pi+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
Ответ
а) $$\frac{\pi}{2}+\pi n \le x \le \pi+\pi n,\quad n\in\mathbb Z;$$
б) $$\frac{\pi}{2}+\pi n \le x \le \pi+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
