Упр.1324 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

а) y=v(sin(-x)cos(x); б) y=v(-sin(x)cos(-x)).

Для существования корня нужно, чтобы подкоренное выражение было неотрицательным.

а) $$y=\sqrt{\sin(-x)\cos x}$$

Так как $$\sin(-x)=-\sin x,$$ а $$\cos(-x)=\cos x,$$ то

$$\sin(-x)\cos x\ge 0.$$

Используем тождество $$\sin(-x)\cos x=\sin(-x)\cos(-x).$$ Тогда достаточно рассмотреть знаки синуса и косинуса. Произведение неотрицательно, когда оба множителя одного знака:

$$ \begin{cases} \sin(-x)\ge 0,\\ \cos(-x)\ge 0 \end{cases} \quad \text{или} \quad \begin{cases} \sin(-x)\le 0,\\ \cos(-x)\le 0 \end{cases} $$

Отсюда получаем:

$$ \frac{\pi}{2}+\pi n \le x \le \pi+\pi n,\quad n\in\mathbb Z. $$

б) $$y=\sqrt{-\sin x\cos(-x)}$$

Так как $$\cos(-x)=\cos x,$$ то

$$-\sin x\cos(-x)\ge 0 \iff -\sin x\cos x\ge 0 \iff \sin x\cos x\le 0.$$

Произведение $$\sin x\cos x$$ неположительно, когда синус и косинус разных знаков. Это выполняется при

$$ \frac{\pi}{2}+\pi n \le x \le \pi+\pi n,\quad n\in\mathbb Z. $$

Ответ

а) $$\frac{\pi}{2}+\pi n \le x \le \pi+\pi n,\quad n\in\mathbb Z;$$

б) $$\frac{\pi}{2}+\pi n \le x \le \pi+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$