Упр.1322 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

1. Найдите значение выражения:
   а) $$1\frac{1}{3}\cdot 3-9\frac{1}{6}+4\frac{2}{3}$$;
   б) $$2\frac{2}{5}\cdot 2-2\frac{1}{2}\cdot 4+\frac{13}{15}$$.
2. Является ли периодической функция:
   а) $$y=\sin|x|$$;
   б) $$y=|\sin(x)|$$;
   в) $$y=\cos^2(x)$$?

а) Рассмотрим функцию $$y=\sin|x|.$$

Если бы она была периодической, то для некоторого $$T\neq 0$$ должно выполняться $$y(x+T)=y(x)$$ при всех $$x$$. В частности, при $$x=0$$ получаем

$$\sin|T|=\sin 0=0,$$

значит, $$|T|=\pi n,$$ где $$n\in \mathbb{Z}.$$

Проверим, подходит ли, например, $$T=2\pi$$:

$$\sin\left|-\frac{\pi}{2}+2\pi\right|=\sin\frac{3\pi}{2}=-1,$$

а

$$\sin\left|-\frac{\pi}{2}\right|=\sin\frac{\pi}{2}=1.$$

Значения не совпадают, значит, функция не является периодической.

б) Рассмотрим функцию $$y=|\sin x|.$$

Имеем

$$|\sin(x+\pi)|=|-\sin x|=|\sin x|.$$

Следовательно, функция периодическая, её период равен $$\pi.$$

в) Рассмотрим функцию $$y=\cos^2 x.$$

Так как

$$\cos(x+\pi)=-\cos x,$$

то

$$\cos^2(x+\pi)=(-\cos x)^2=\cos^2 x.$$

Значит, функция периодическая, её период равен $$\pi.$$

Ответ

а) нет; б) да, период $$\pi$$; в) да, период $$\pi$$.