Упр.1321 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

f(x)={1, если x — рациональное число; 0, если x — иррациональное число}.

Пусть $$T\in \mathbb{Q},\; T\ne 0.$$ Докажем, что для любого $$x$$ выполняется равенство $$f(x+T)=f(x).$$

1) Если $$x\in \mathbb{Q},$$ то сумма рациональных чисел $$x+T$$ тоже рациональна. Значит,

$$f(x+T)=1=f(x).$$

2) Если $$x\notin \mathbb{Q},$$ а $$T\in \mathbb{Q},$$ то число $$x+T$$ не может быть рациональным, иначе разность $$x=(x+T)-T$$ была бы рациональной. Следовательно, $$x+T\notin \mathbb{Q},$$ и потому

$$f(x+T)=0=f(x).$$

Итак, для любого рационального $$T\ne 0$$ имеем $$f(x+T)=f(x)$$ при всех $$x$$, значит, функция Дирихле периодическая.

Теперь покажем, что наименьшего положительного периода у неё нет. Действительно, любое рациональное число $$T\ne 0$$ является периодом функции. Но среди рациональных чисел нет наименьшего положительного: если $$T>0$$ — период, то и $$\frac{T}{2}$$ тоже положительный период, причём

$$0<\frac{T}{2}<T.$$

Следовательно, у функции Дирихле нет наименьшего положительного периода.

Ответ

Функция Дирихле периодическая; любой рациональный $$T\ne 0$$ является её периодом. Наименьшего положительного периода не существует.