Упр.1317 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

1. Докажите, что наибольшее значение $$\sin(x)+\sqrt{3}\cos(x)$$ равно $$\sqrt{3}$$.
2. Докажите неравенство:
   
   а) $$\cos^2(?)<\cos(?)$$, если $$270^\circб) $$\operatorname{tg}(?)>\sin(?)$$, если $$0^\circв) $$\sin(?)+\cos(?)>1$$, если $$0^\circг) $$\operatorname{tg}(?)+\operatorname{ctg}(?)\geq2$$, если $$180^\circ

а) При $$270^\circ<a<360^\circ$$ имеем $$0<\cos a<1.$$ Тогда при положительном числе $$\cos a$$ выполняется

$$\cos^2 a<\cos a.$$

б) При $$0^\circ<a<90^\circ$$ числа $$\sin a$$ и $$\cos a$$ положительны, поэтому

$$\tg a=\frac{\sin a}{\cos a}.$$

Так как $$0<\cos a<1,$$ то деление на $$\cos a$$ увеличивает число $$\sin a,$$ следовательно,

$$\tg a>\sin a.$$

в) При $$0^\circ<a<90^\circ$$ имеем $$0<\sin a<1$$ и $$0<\cos a<1.$$ Рассмотрим квадрат суммы:

$$(\sin a+\cos a)^2=\sin^2 a+2\sin a\cos a+\cos^2 a=1+2\sin a\cos a.$$

Так как $$\sin a>0$$ и $$\cos a>0,$$ то $$2\sin a\cos a>0,$$ значит

$$(\sin a+\cos a)^2>1.$$

Следовательно, $$\sin a+\cos a>1.$$

г) При $$180^\circ<a<270^\circ$$ имеем $$\tg a>0$$ и $$\ctg a>0.$$ Тогда

$$\tg a+\ctg a=\tg a+\frac{1}{\tg a}.$$

Обозначим $$x=\tg a>0.$$ Тогда нужно доказать, что

$$x+\frac{1}{x}\ge 2.$$

Приведём к общему знаменателю:

$$x+\frac{1}{x}-2=\frac{x^2-2x+1}{x}=\frac{(x-1)^2}{x}\ge 0.$$

Значит,

$$\tg a+\ctg a\ge 2.$$

Ответ

а) $$\cos^2 a<\cos a$$; б) $$\tg a>\sin a$$; в) $$\sin a+\cos a>1$$; г) $$\tg a+\ctg a\ge 2$$.