Упр.1317 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

a) cos^2(?) < cos(?), если 270° < ? < 360°; б) tg(?) > sin(?), если 0° < ? < 90°; в) sin(?)+cos(?) > 1, если 0° < ? < 90°; г) tg(?)+ctg(?)?2, если 180° < ? < 270°.

а) При $$270^\circ<a<360^\circ$$ имеем $$0<\cos a<1.$$ Тогда при положительном числе $$\cos a$$ выполняется

$$\cos^2 a<\cos a.$$

б) При $$0^\circ<a<90^\circ$$ числа $$\sin a$$ и $$\cos a$$ положительны, поэтому

$$\tg a=\frac{\sin a}{\cos a}.$$

Так как $$0<\cos a<1,$$ то деление на $$\cos a$$ увеличивает число $$\sin a,$$ следовательно,

$$\tg a>\sin a.$$

в) При $$0^\circ<a<90^\circ$$ имеем $$0<\sin a<1$$ и $$0<\cos a<1.$$ Рассмотрим квадрат суммы:

$$ (\sin a+\cos a)^2=\sin^2 a+2\sin a\cos a+\cos^2 a=1+2\sin a\cos a. $$

Так как $$\sin a>0$$ и $$\cos a>0,$$ то $$2\sin a\cos a>0,$$ значит

$$ (\sin a+\cos a)^2>1. $$

Следовательно, $$\sin a+\cos a>1.$$

г) При $$180^\circ<a<270^\circ$$ имеем $$\tg a>0$$ и $$\ctg a>0.$$ Тогда

$$ \tg a+\ctg a=\tg a+\frac{1}{\tg a}. $$

Обозначим $$x=\tg a>0.$$ Тогда нужно доказать, что

$$ x+\frac{1}{x}\ge 2. $$

Приведём к общему знаменателю:

$$ x+\frac{1}{x}-2=\frac{x^2-2x+1}{x}=\frac{(x-1)^2}{x}\ge 0. $$

Значит,

$$\tg a+\ctg a\ge 2.$$

Ответ

а) $$\cos^2 a<\cos a$$; б) $$\tg a>\sin a$$; в) $$\sin a+\cos a>1$$; г) $$\tg a+\ctg a\ge 2$$.