Упр.1316 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)
- Докажите формулы К. Мольвейде: $$\frac{a+b}{c}=\frac{\cos\left(\frac{A-B}{2}\right)}{\sin\left(\frac{C}{2}\right)}$$, $$\frac{a-b}{c}=\frac{\sin\left(\frac{A-B}{2}\right)}{\cos\left(\frac{C}{2}\right)}$$.
- Сравните: а) $$\sin^2\left(\frac{\pi}{15}\right)$$ и $$\sin\left(\frac{\pi}{15}\right)$$; в) $$\operatorname{tg}(80^\circ)$$ и $$\operatorname{tg}(80^\circ)\sin(140^\circ)$$; б) $$\cos\left(\frac{5\pi}{6}\right)$$ и $$\cos^2\left(\frac{5\pi}{6}\right)$$; г) $$\operatorname{ctg}(200^\circ)\cos(35^\circ)$$ и $$\operatorname{ctg}(200^\circ)$$.
$$0<\frac{\pi}{15}<\frac{\pi}{2}$$
Значит,
$$0<\sin\frac{\pi}{15}<1.$$
Тогда при $$0<x<1$$ выполняется $$x^2<x$$, следовательно,
$$\sin^2\frac{\pi}{15}<\sin\frac{\pi}{15}.$$
$$\frac{\pi}{2}<\frac{5\pi}{6}<\pi$$
Поэтому
$$-1<\cos\frac{5\pi}{6}<0.$$
Для отрицательного числа квадрат неотрицателен, значит
$$\cos\frac{5\pi}{6}<\cos^2\frac{5\pi}{6}.$$
$$0^\circ<80^\circ<90^\circ,$$
поэтому $$\tg 80^\circ>0.$$
Кроме того,
$$90^\circ<140^\circ<180^\circ,$$
значит
$$0<\sin 140^\circ<1.$$
Тогда
$$\tg 80^\circ\sin 140^\circ<\tg 80^\circ.$$
$$180^\circ<200^\circ<270^\circ,$$
поэтому $$\ctg 200^\circ>0.$$
Также
$$0^\circ<35^\circ<90^\circ,$$
значит
$$0<\cos 35^\circ<1.$$
При умножении положительного числа на число из промежутка $$(0,1)$$ значение уменьшается, следовательно,
$$\ctg 200^\circ\cos 35^\circ<\ctg 200^\circ.$$
Ответ
$$\sin^2\frac{\pi}{15}<\sin\frac{\pi}{15},\qquad \cos\frac{5\pi}{6}<\cos^2\frac{5\pi}{6},\qquad \tg 80^\circ>\tg 80^\circ\sin 140^\circ,\qquad \ctg 200^\circ\cos 35^\circ<\ctg 200^\circ.$$
