Упр.1311 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)
- Упростите выражение $$\sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\cos(2\alpha)}}}$$ при $$0<\alpha<\frac{\pi}{2}$$.
- Координатная плоскость поворачивается около точки $$O$$ на угол $$\alpha$$. В какие точки перейдут точки $$A(5;1)$$, $$B(-4;2)$$, $$C(-3;-4)$$ и $$D(1;-5)$$, если:
а) $$\alpha=\frac{\pi}{2}$$; б) $$\alpha=-\frac{\pi}{2}$$; в) $$\alpha=\frac{3\pi}{2}$$; г) $$\alpha=-\frac{3\pi}{2}$$; д) $$\alpha=\pi$$; е) $$\alpha=-\pi$$?
При повороте вокруг начала координат на угол $$\frac{\pi}{2}$$ точка $$(x; y)$$ переходит в точку $$(-y; x)$$.
При повороте на угол $$-\frac{\pi}{2}$$: $$(x; y) \to (y; -x)$$.
При повороте на угол $$\pi$$ или $$-\pi$$: $$(x; y) \to (-x; -y)$$.
Используем эти правила для данных точек.
а) $$a=\frac{\pi}{2}$$
$$A(5;1)\to A'(-1;5),\quad B(-4;2)\to B'(-2;-4),\quad C(-3;-4)\to C'(4;-3),\quad D(1;-5)\to D'(5;1).$$
б) $$a=-\frac{\pi}{2}$$
$$A(5;1)\to A'(1;-5),\quad B(-4;2)\to B'(2;4),\quad C(-3;-4)\to C'(-4;3),\quad D(1;-5)\to D'(-5;-1).$$
в) $$a=\frac{3\pi}{2}$$
Это то же самое, что поворот на $$-\frac{\pi}{2}$$, поэтому:
$$A'(1;-5),\quad B'(2;4),\quad C'(-4;3),\quad D'(-5;-1).$$
г) $$a=-\frac{3\pi}{2}$$
Это то же самое, что поворот на $$\frac{\pi}{2}$$, поэтому:
$$A'(-1;5),\quad B'(-2;-4),\quad C'(4;-3),\quad D'(5;1).$$
д) $$a=\pi$$
$$A(5;1)\to A'(-5;-1),\quad B(-4;2)\to B'(4;-2),\quad C(-3;-4)\to C'(3;4),\quad D(1;-5)\to D'(-1;5).$$
е) $$a=-\pi$$
Это тот же поворот, что и на $$\pi$$, поэтому:
$$A'(-5;-1),\quad B'(4;-2),\quad C'(3;4),\quad D'(-1;5).$$
Ответ
а) $$A'(-1;5),\ B'(-2;-4),\ C'(4;-3),\ D'(5;1)$$;
б) $$A'(1;-5),\ B'(2;4),\ C'(-4;3),\ D'(-5;-1)$$;
в) $$A'(1;-5),\ B'(2;4),\ C'(-4;3),\ D'(-5;-1)$$;
г) $$A'(-1;5),\ B'(-2;-4),\ C'(4;-3),\ D'(5;1)$$;
д) $$A'(-5;-1),\ B'(4;-2),\ C'(3;4),\ D'(-1;5)$$;
е) $$A'(-5;-1),\ B'(4;-2),\ C'(3;4),\ D'(-1;5)$$.
