Упр.1310 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

1. Найдите значение выражения $$8\cos(20^\circ)\cos(40^\circ)\cos(80^\circ)$$.
2. В двух арифметических прогрессиях — $$(a_n)$$ и $$(b_n)$$ — первые члены равны $$a$$. Разность одной равна $$-d$$, а другой — $$d$$. Суммы $$n$$ первых членов этих прогрессий — $$S_n$$ и $$S’_n$$. Докажите, что $$\frac{S’_n-S_n}{S’_n+S_n}=\frac{2a}{d(n-1)}$$.

Для арифметической прогрессии с первым членом $$a_1=a$$ и разностью $$-d$$ имеем

$$S_n=\frac{2a+(-d)(n-1)}{2}\cdot n=\frac{2a-d(n-1)}{2}\cdot n.$$

Для арифметической прогрессии с первым членом $$b_1=a$$ и разностью $$d$$ получаем

$$S’_n=\frac{2a+d(n-1)}{2}\cdot n.$$

Тогда

$$S’_n-S_n=\left(\frac{2a+d(n-1)}{2}-\frac{2a-d(n-1)}{2}\right)n=dn^2,$$

а сумма

$$S’_n+S_n=\left(\frac{2a+d(n-1)}{2}+\frac{2a-d(n-1)}{2}\right)n=2an.$$

Следовательно,

$$\frac{S’_n-S_n}{S’_n+S_n}=\frac{dn^2}{2an}=\frac{dn}{2a}.$$

Полученное выражение не совпадает с указанным в условии равенством $$\frac{2a}{d(n-1)}$$, значит, в формулировке задания, вероятно, допущена опечатка.

Ответ

$$\frac{S’_n-S_n}{S’_n+S_n}=\frac{dn}{2a}.$$