Упр.1310 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Макарычев, Миндюк, Нешков 9 класс, Просвещение: 1310. В двух арифметических прогрессиях — (a_n) и (b_n) — первые члены равны а. Разность одной равна —d, а другой — d. Суммы n первых членов этих прогрессии S_n и S’_n. Докажите, что (S’_n-S_n)/(S’n+S_n)=2a/(d(n-1)).

Подробный ответ

Для арифметической прогрессии с первым членом $$a_1=a$$ и разностью $$-d$$ имеем

$$S_n=\frac{2a+(-d)(n-1)}{2}\cdot n=\frac{2a-d(n-1)}{2}\cdot n.$$

Для арифметической прогрессии с первым членом $$b_1=a$$ и разностью $$d$$ получаем

$$S’_n=\frac{2a+d(n-1)}{2}\cdot n.$$

Тогда

$$ S’_n-S_n=\left(\frac{2a+d(n-1)}{2}-\frac{2a-d(n-1)}{2}\right)n=dn^2, $$

а сумма

$$ S’_n+S_n=\left(\frac{2a+d(n-1)}{2}+\frac{2a-d(n-1)}{2}\right)n=2an. $$

Следовательно,

$$ \frac{S’_n-S_n}{S’_n+S_n}=\frac{dn^2}{2an}=\frac{dn}{2a}. $$

Полученное выражение не совпадает с указанным в условии равенством $$\frac{2a}{d(n-1)}$$, значит, в формулировке задания, вероятно, допущена опечатка.