Упр.1309 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

1. Докажите, что если $$?+?+?=?$$, то $$\frac{\sin(?) + \sin(?) — \sin(?)}{\sin(?) + \sin(?) + \sin(?)}=\mathrm{tg}(?/2)\mathrm{tg}(?/2)$$.
2. Упростите выражение:
   
   а) $$\sqrt{x^2-4x+4}+\left((x-4)^4\right)^{1/4}$$, где $$x?2$$;
   
   б) $$\sqrt{-x^3+2x^2y-xy^2+2x^2-4xy+2y^2}$$, где $$y?x?2$$.

а) $$\sqrt{x^2-4x+4}+\sqrt[4]{(x-4)^4}$$

Преобразуем выражения под корнями:

$$x^2-4x+4=(x-2)^2,$$

$$\sqrt[4]{(x-4)^4}=|x-4|.$$

Тогда

$$\sqrt{(x-2)^2}+|x-4|=|x-2|+|x-4|.$$

Так как $$x\le 2,$$ то

$$|x-2|=2-x,\qquad |x-4|=4-x.$$

Следовательно,

$$2-x+4-x=6-2x.$$

б) $$\sqrt{-x^3+2x^2y-xy^2+2x^2-4xy+2y^2}$$

Сгруппируем слагаемые:

$$-x^3+2x^2y-xy^2+2x^2-4xy+2y^2=-x(x^2-2xy+y^2)+2(x^2-2xy+y^2).$$

Вынесем общий множитель:

$$=(2-x)(x^2-2xy+y^2)=(2-x)(x-y)^2.$$

Тогда

$$\sqrt{(2-x)(x-y)^2}=|x-y|\sqrt{2-x}.$$

По условию $$y\le x\le 2,$$ значит $$x-y\ge 0,$$ поэтому $$|x-y|=x-y.$$

Итак,

$$\sqrt{-x^3+2x^2y-xy^2+2x^2-4xy+2y^2}=(x-y)\sqrt{2-x}.$$

Ответ

а) $$6-2x$$; б) $$\left(x-y\right)\sqrt{2-x}$$.