Упр.1308 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

1. Найдите $$\sin(?+?)$$ и $$\cos(?+?)$$, если $$\sin(?) + \sin(?) = m$$ и $$\cos(?) + \cos(?) = q$$.
2. Упростите выражение:
   а) $$\sin(a-b)+\cos(a-b)-\sin(b-a)+\cos(b-a)$$;
   б) $$\operatorname{tg}(x-y)+\operatorname{ctg}(x-y)+\operatorname{tg}(y-x)+\operatorname{ctg}(y-x)$$;
   в) $$\sin(2?-x+y)-\sin(2?+x-y)$$;
   г) $$\operatorname{tg}(x-y+3?)-\operatorname{tg}(y-x-3?)$$.

1. а) Используем формулу $$\sin(b-a)=-\sin(a-b)$$ и $$\cos(b-a)=\cos(a-b)$$:

   $$\sin(a-b)+\cos(a-b)-\sin(b-a)+\cos(b-a)$$
   $$=\sin(a-b)+\cos(a-b)+\sin(a-b)+\cos(a-b)$$
   $$=2\bigl(\sin(a-b)+\cos(a-b)\bigr).$$

2. б) Так как $$\tg(y-x)=-\tg(x-y)$$ и $$\ctg(y-x)=-\ctg(x-y),$$ то

   $$\tg(x-y)+\ctg(x-y)+\tg(y-x)+\ctg(y-x)=0.$$

3. в) Преобразуем аргументы:

   $$\sin(2\pi-x+y)-\sin(2\pi+x-y)$$
   $$=\sin(y-x)-\sin(x-y)$$
   $$=\sin(y-x)+\sin(y-x)$$
   $$=2\sin(y-x).$$

4. г) Используем периодичность тангенса: $$\tg(\alpha+3\pi)=\tg(\alpha+\pi)=\tg\alpha,$$ поэтому

   $$\tg(x-y+3\pi)-\tg(y-x-3\pi)$$
   $$=\tg(x-y)-\tg(y-x)$$
   $$=\tg(x-y)+\tg(x-y)$$
   $$=2\tg(x-y).$$

Ответ

а) $$2\bigl(\sin(a-b)+\cos(a-b)\bigr);$$
б) $$0;$$
в) $$2\sin(y-x);$$
г) $$2\tg(x-y).$$