Упр.13 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Макарычев, Миндюк, Нешков 9 класс, Просвещение: 13. Изобразите схематически график функции y=(6-x)/(6+x). Укажите для этой функции промежутки монотонности и определите характер монотонности для каждого промежутка.

Подробный ответ

Преобразуем функцию:

$$y=\frac{6-x}{6+x}=\frac{12-(x+6)}{x+6}=\frac{12}{x+6}-1.$$

Это график функции $$y=\frac{12}{x}$$, сдвинутый на $$6$$ единиц влево и на $$1$$ единицу вниз.

Область определения:

$$x+6\ne 0,\quad x\ne -6.$$

Значит, график имеет вертикальную асимптоту $$x=-6$$ и горизонтальную асимптоту $$y=-1$$.

Найдём характер монотонности. Производная:

$$y’=\left(\frac{12}{x+6}-1\right)’=-\frac{12}{(x+6)^2}.$$

Так как $$\frac{12}{(x+6)^2}>0$$ при всех $$x\ne -6$$, то

$$y’<0 \quad \text{при } x\ne -6.$$

Следовательно, функция убывает на каждом из промежутков области определения:

$$(-\infty;\,-6)\quad \text{и}\quad (-6;\,+\infty).$$

Для построения графика можно отметить несколько точек:

$$x=0 \Rightarrow y=\frac{6}{6}=1,$$

$$x=6 \Rightarrow y=0,$$

$$x=-12 \Rightarrow y=\frac{18}{-6}=-3.$$

По этим точкам и асимптотам строится схематический график: две ветви гиперболы, расположенные по разные стороны от прямой $$x=-6$$ и приближающиеся к прямой $$y=-1$$.