Упр.1298 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

Задача

а) sin(?/4)=a^2+1; в) sin(7?/6)=1/3a^2+1/2;
б) cos(6?/5)=a^2-1; г) cos(4?/5)=1/((a-1)(a+1))?

Подробный ответ

а) $$\sin \frac{\pi}{4}=a^2+1$$
Так как $$\sin \frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}$$, то
$$a^2+1=\frac{\sqrt{2}}{2}.$$
Но $$a^2 \ge 0$$, значит $$a^2+1 \ge 1$$, а $$\frac{\sqrt{2}}{2}<1$$. Равенство невозможно.
Ответ: нет.
б) $$\cos \frac{6\pi}{5}=a^2-1$$
Так как $$\cos \frac{6\pi}{5}=-\cos \frac{\pi}{5}$$, то это число лежит между $$-1$$ и $$0$$:
$$-1<a^2-1<0.$$
Прибавим 1 к всем частям неравенства:
$$0<a^2<1.$$
Это возможно, например при $$0<|a|<1$$.
Ответ: да.
в) $$\sin \frac{7\pi}{6}=\frac{1}{3}a^2+\frac{1}{2}$$
Так как $$\sin \frac{7\pi}{6}=-\frac{1}{2}$$, получаем
$$-\frac{1}{2}=\frac{1}{3}a^2+\frac{1}{2}.$$
Тогда
$$\frac{1}{3}a^2=-1,$$
$$a^2=-3,$$
что невозможно для действительных $$a$$.
Ответ: нет.
г) $$\cos \frac{4\pi}{5}=\frac{1}{(a-1)(a+1)}$$
Так как $$\cos \frac{4\pi}{5}=-\cos \frac{\pi}{5}$$, то
$$-1<\cos \frac{4\pi}{5}<0.$$
Следовательно, правая часть должна удовлетворять неравенству
$$-1<\frac{1}{(a-1)(a+1)}<0.$$
Но $$\frac{1}{(a-1)(a+1)}=\frac{1}{a^2-1}$$. Чтобы дробь была отрицательной, нужно $$a^2-1<0$$, то есть $$a^2<1$$. Тогда $$a^2-1\in(-1,0)$$, а значит
$$\frac{1}{a^2-1}<-1,$$
что не может равняться числу из интервала $$(-1,0)$$. Равенство невозможно.
Ответ: нет.