Упр.1297 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

1. Докажите тождество:
   а) $$\sin(3?)=3\sin(?)-4\sin^3(?)$$;
   б) $$\cos(3?)=4\cos(3?)-3\cos(?)$$;
   в) $$\tg(3?)=\frac{3\tg(?)-\tg^3(?)}{1-3\tg^2(?)}$$;
   г) $$\ctg(3?)=\frac{\ctg^3(?)-3\ctg(?)}{3\ctg^2(?)-1}$$.
2. Может ли при каком-нибудь значении $$x$$ быть верным равенство:
   а) $$\sin(x)=-\frac{1}{3}$$;
   б) $$\cos(x)=3-\sqrt{3}$$;
   в) $$\sin(x)=1-\sqrt{2}$$;
   г) $$\cos(x)=\sqrt{2}-1$$?

Значения синуса и косинуса всегда лежат в промежутке от $$-1$$ до $$1$$:

$$-1 \le \sin x \le 1, \qquad -1 \le \cos x \le 1.$$

Проверим каждое равенство.

1. $$\sin x=-\frac13.$$

   Число $$-\frac13$$ принадлежит промежутку $$[-1;1]$$, значит такое значение синуса возможно.

2. $$\cos x=3-\sqrt3.$$

   Так как $$\sqrt3<2$$, то

   $$3-\sqrt3>1.$$

   Следовательно, такое значение косинуса невозможно.

3. $$\sin x=1-\sqrt2.$$

   Так как $$1<\sqrt2<2,$$ то

   $$-1<1-\sqrt2<0.$$

   Значит, такое значение синуса возможно.

4. $$\cos x=\sqrt2-1.$$

   Так как $$1<\sqrt2<2,$$ то

   $$0<\sqrt2-1<1.$$

   Значит, такое значение косинуса возможно.

Ответ

а) да; б) нет; в) да; г) да.