Упр.1295 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

Задача

а) 2tg(30°)ctg(30°)cos(30°)sin(30°)+v3tg(60°);
б) (cos(?/6)sin(?/6))/(sin(?/3)+cos(?/3))-(tg(?/3)ctg(?/6))/(cos(?/3)-sin(?/3)).

Подробный ответ

а) Используем значения тригонометрических функций:

$$ \tg 30^\circ=\frac{\sqrt{3}}{3}, \quad \ctg 30^\circ=\sqrt{3}, \quad \cos 30^\circ=\frac{\sqrt{3}}{2}, \quad \sin 30^\circ=\frac{1}{2}, \quad \tg 60^\circ=\sqrt{3}. $$

$$ 2\tg 30^\circ \ctg 30^\circ \cos 30^\circ \sin 30^\circ+\sqrt{3}\tg 60^\circ $$
$$ =2\cdot \frac{\sqrt{3}}{3}\cdot \sqrt{3}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\cdot \frac{1}{2}+\sqrt{3}\cdot \sqrt{3} $$
$$ =\frac{3\sqrt{3}}{6}+3=\frac{\sqrt{3}}{2}+3. $$

б) Подставим значения:

$$ \cos \frac{\pi}{6}=\frac{\sqrt{3}}{2}, \quad \sin \frac{\pi}{6}=\frac{1}{2}, \quad \sin \frac{\pi}{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}, \quad \cos \frac{\pi}{3}=\frac{1}{2}, $$
$$ \tg \frac{\pi}{3}=\sqrt{3}, \quad \ctg \frac{\pi}{6}=\sqrt{3}. $$

$$ \frac{\cos \frac{\pi}{6}\sin \frac{\pi}{6}}{\sin \frac{\pi}{3}+\cos \frac{\pi}{3}} -\frac{\tg \frac{\pi}{3}\ctg \frac{\pi}{6}}{\cos \frac{\pi}{3}-\sin \frac{\pi}{3}} $$
$$ =\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot \frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}} -\frac{\sqrt{3}\cdot \sqrt{3}}{\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}} $$
$$ =\frac{\frac{\sqrt{3}}{4}}{\frac{\sqrt{3}+1}{2}}-\frac{3}{\frac{1-\sqrt{3}}{2}} =\frac{\sqrt{3}}{4}\cdot \frac{2}{\sqrt{3}+1}-3\cdot \frac{2}{1-\sqrt{3}}. $$

После преобразований получаем:
$$ \frac{11\sqrt{3}+15}{4}. $$