Упр.1294 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

1. Выразите $$\sin(2\alpha)$$, $$\cos(2\alpha)$$ и $$\operatorname{tg}(2\alpha)$$ через $$\sin\left(\frac{\alpha}{2}\right)$$, $$\cos\left(\frac{\alpha}{2}\right)$$ и $$\operatorname{tg}\left(\frac{\alpha}{2}\right)$$.
2. Известно, что $$\cos(x)=\frac{1}{2}$$. Верно ли, что $$x=\frac{\pi}{3}$$? Укажите ещё 3 значения $$x$$, при которых $$\cos(x)=\frac{1}{2}$$.

Если $$\cos x=\frac{1}{2},$$ то одно из значений угла:

$$x=\frac{\pi}{3}.$$

Так как косинус имеет период $$2\pi,$$ то все решения можно записать так:

$$x=\frac{\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}.$$

Кроме того, косинус принимает значение $$\frac{1}{2}$$ и при угле, симметричном относительно оси $$Oy$$:

$$x=-\frac{\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}.$$

Возьмём, например, три значения:

$$x=-\frac{\pi}{3},\quad x=\frac{5\pi}{3},\quad x=\frac{7\pi}{3}.$$

Ответ

$$-\frac{\pi}{3},\ \frac{5\pi}{3},\ \frac{7\pi}{3}.$$