Упр.1265 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

1. Постройте в промежутке $$[—2?; 2?]$$ график функции:
   а) $$y=\cos(x)$$;
   б) $$y=\operatorname{ctg}(x)$$.
2. Сколько общих точек имеют:
   а) прямая $$x+2y=5$$ и окружность $$x^2+y^2=5$$;
   б) окружность $$x^2+y^2=10$$ и прямая $$x-3y=9$$;
   в) прямая $$x-y=6$$ и парабола $$y=x^2+10$$;
   г) парабола $$x=y^2-5$$ и окружность $$x^2+y^2=100$$?

1. а) $$x+2y=5,\quad x^2+y^2=5.$$

   Из первого уравнения выразим $$x$$:

   $$x=5-2y.$$

   Подставим во второе:

   $$(5-2y)^2+y^2=5$$
   $$25-20y+4y^2+y^2=5$$
   $$5y^2-20y+20=0$$
   $$y^2-4y+4=0$$
   $$(y-2)^2=0.$$

   Получаем единственное значение $$y=2$$, значит, общая точка одна.

2. б) $$x^2+y^2=10,\quad x-3y=9.$$

   Из второго уравнения:

   $$x=3y+9.$$

   Подставим в первое:

   $$(3y+9)^2+y^2=10$$
   $$9y^2+54y+81+y^2=10$$
   $$10y^2+54y+71=0.$$

   Дискриминант:

   $$D=54^2-4\cdot 10\cdot 71=2916-2840=76>0.$$

   Квадратное уравнение имеет два различных корня, значит, общих точек две.

3. в) $$x-y=6,\quad y=x^2+10.$$

   Из первого уравнения:

   $$y=x-6.$$

   Подставим во второе:

   $$x-6=x^2+10$$
   $$x^2-x+16=0.$$

   Дискриминант:

   $$D=1-4\cdot 16=1-64=-63<0.$$

   Действительных решений нет, значит, общих точек нет.

4. г) $$x=y^2-5,\quad x^2+y^2=100.$$

   Из первого уравнения:

   $$y^2=x+5.$$

   Подставим во второе:

   $$x^2+x+5=100$$
   $$x^2+x-95=0.$$

   Дискриминант:

   $$D=1+4\cdot 95=381>0.$$

   Уравнение имеет два корня, и оба удовлетворяют области определения, значит, общих точек две.

Ответ

а) одна точка; б) две точки; в) нет точек; г) две точки.