Упр.1265 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

Задача

а) прямая x+2y=5 и окружность x^2+y^2=5;
б) окружность x^2+y^2=10 и прямая x-3y=9;
в) прямая x-y=6 и парабола y=x^2+10;
г) парабола x=y^2-5 и окружность x^2+y^2=100?

Подробный ответ

а) $$x+2y=5,\quad x^2+y^2=5.$$
Из первого уравнения выразим $$x$$:
$$x=5-2y.$$
Подставим во второе:
$$ (5-2y)^2+y^2=5 $$
$$ 25-20y+4y^2+y^2=5 $$
$$ 5y^2-20y+20=0 $$
$$ y^2-4y+4=0 $$
$$ (y-2)^2=0. $$
Получаем единственное значение $$y=2$$, значит, общая точка одна.
б) $$x^2+y^2=10,\quad x-3y=9.$$
Из второго уравнения:
$$x=3y+9.$$
Подставим в первое:
$$ (3y+9)^2+y^2=10 $$
$$ 9y^2+54y+81+y^2=10 $$
$$ 10y^2+54y+71=0. $$
Дискриминант:
$$ D=54^2-4\cdot 10\cdot 71=2916-2840=76>0. $$
Квадратное уравнение имеет два различных корня, значит, общих точек две.
в) $$x-y=6,\quad y=x^2+10.$$
Из первого уравнения:
$$y=x-6.$$
Подставим во второе:
$$ x-6=x^2+10 $$
$$ x^2-x+16=0. $$
Дискриминант:
$$ D=1-4\cdot 16=1-64=-63<0. $$
Действительных решений нет, значит, общих точек нет.
г) $$x=y^2-5,\quad x^2+y^2=100.$$
Из первого уравнения:
$$y^2=x+5.$$
Подставим во второе:
$$ x^2+x+5=100 $$
$$ x^2+x-95=0. $$
Дискриминант:
$$ D=1+4\cdot 95=381>0. $$
Уравнение имеет два корня, и оба удовлетворяют области определения, значит, общих точек две.