Упр.1263 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Макарычев, Миндюк, Нешков 9 класс, Просвещение: 1263. Докажите, что функция y=n^2-2n+1, где n — натуральное число, обратима. Построите её график и график обратной ей функции. Задайте обратную функцию формулой.

Преобразуем заданную функцию:

$$y=n^2-2n+1=(n-1)^2.$$

Так как $$n$$ — натуральное число, то при увеличении $$n$$ величина $$n-1$$ тоже увеличивается, а значит, увеличивается и $$ (n-1)^2 $$.

Пусть $$n_1>n_2$$. Тогда

$$n_1-1>n_2-1,$$

следовательно,

$$ (n_1-1)^2>(n_2-1)^2. $$

Значит, разным значениям $$n$$ соответствуют разные значения $$y$$, то есть функция обратима.

Найдём обратную функцию. Из

$$y=(n-1)^2$$

получаем

$$n-1=\sqrt{y},$$

так как $$n\in \mathbb{N}$$ и берётся только неотрицательный корень. Тогда

$$n=\sqrt{y}+1.$$

Заменяя переменные, получаем обратную функцию:

$$y=\sqrt{x}+1.$$

График исходной функции состоит из точек $$\left(n,(n-1)^2\right)$$, например:

$$ (1,0),\ (2,1),\ (3,4),\ (4,9). $$

График обратной функции получается отражением графика исходной относительно прямой $$y=x$$ и проходит через точки

$$ (0,1),\ (1,2),\ (4,3),\ (9,4). $$

Ответ

Функция обратима. Обратная функция: $$y=\sqrt{x}+1.$$