Упр.1239 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

1. Представьте в виде суммы или разности: а) $$2\sin(27^\circ)\cos(9^\circ)$$; б) $$-2\sin(25^\circ)\sin(15^\circ)$$; в) $$2\sin(?)\cos(3?)$$; г) $$2\cos(2?)\cos(?)$$; д) $$\cos(x+1)\cos(x-1)$$; е) $$2\sin(a+b)\cos(a-b)$$; ж) $$\sin(m+n)\sin(m-n)$$; з) $$\sin(2x+3)\sin(x-3)$$.
2. Найдите наименьшее значение $$n$$, при котором значение выражения $$\frac{P(2n)}{P(n-1)}$$ оканчивается точно пятью нулями.

Рассмотрим число

$$\frac{P_{2n}}{P_{n-1}}=\frac{(2n)!}{(n-1)!}.$$

Чтобы оно оканчивалось ровно пятью нулями, в его разложении на множители должно быть на пять больше множителей $$5$$, чем множителей $$2$$.

В записи

$$\frac{(2n)!}{(n-1)!}=\frac{5\cdot \ldots \cdot 5\cdot \ldots}{5\cdot \ldots \cdot 5\cdot \ldots}$$

число пятёрок в числителе должно превышать число пятёрок в знаменателе на $$5$$.

Минимально это выполняется при $$n=15$$: тогда в числителе пятёрок на $$7$$ больше, чем в знаменателе, а с учётом двоек получается ровно пять нулей в конце числа.

Ответ

$$15$$