Упр.1239 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Макарычев, Миндюк, Нешков 9 класс, Просвещение: 1239. Найдите наименьшее значение n, при котором значение выражения P(2n)/P(n-1) оканчивается точно пятью нулями.

Рассмотрим число

$$\frac{P_{2n}}{P_{n-1}}=\frac{(2n)!}{(n-1)!}.$$

Чтобы оно оканчивалось ровно пятью нулями, в его разложении на множители должно быть на пять больше множителей $$5$$, чем множителей $$2$$.

В записи

$$\frac{(2n)!}{(n-1)!}=\frac{5\cdot \ldots \cdot 5\cdot \ldots}{5\cdot \ldots \cdot 5\cdot \ldots}$$

число пятёрок в числителе должно превышать число пятёрок в знаменателе на $$5$$.

Минимально это выполняется при $$n=15$$: тогда в числителе пятёрок на $$7$$ больше, чем в знаменателе, а с учётом двоек получается ровно пять нулей в конце числа.

Ответ

$$15$$