Упр.1222 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

а) (x < a)?(x+1 > 0);
б) ((x+1)(x-a)?0)?((x+1)(x-2) > 0);
в) ((x+1)(x-2)?0)?((x+1)(x-a) > 0);
г) (x(x-a)?0) > ((x-3)(x-1)?0).

1. а) Предикат $$\bigl(x<a\bigr)\cup\bigl(x+1>0\bigr)$$ является тождеством, если для любого $$x$$ верно хотя бы одно из неравенств.

   Так как $$x+1>0$$ равносильно $$x>-1,$$ то объединение будет совпадать со всей числовой прямой тогда и только тогда, когда множество $$x<a$$ покрывает все значения $$x\le -1.$$ Это возможно при $$a>-1.$$

   Ответ: $$a>-1.$$

2. б) Рассмотрим предикат

   $$\bigl((x+1)(x-a)\le 0\bigr)\cup\bigl((x+1)(x-2)>0\bigr).$$

   Неравенство $$ (x+1)(x-2)>0 $$ выполняется при $$x<-1$$ или $$x>2.$$

   Неравенство $$ (x+1)(x-a)\le 0 $$ выполняется на отрезке между корнями:

   $$-1\le x\le a \quad \text{при } a\ge -1.$$

   Чтобы объединение двух множеств было тождеством, нужно, чтобы промежуток $$[-1,\,2]$$ был покрыт первым неравенством, то есть $$a\ge 2.$$

   Ответ: $$a\ge 2.$$

3. в) Рассмотрим предикат

   $$\bigl((x+1)(x-2)\le 0\bigr)\cup\bigl((x+1)(x-a)>0\bigr).$$

   Первое неравенство даёт

   $$-1\le x\le 2.$$

   Второе неравенство даёт

   $$x<-1 \quad \text{или} \quad x>a.$$

   Чтобы объединение было тождеством, нужно, чтобы все числа больше $$2$$ попадали во второе множество, то есть $$a\le 2,$$ и чтобы все числа меньше $$-1$$ тоже попадали во второе множество, что выполняется автоматически. Кроме того, чтобы не было разрыва между множествами, необходимо $$a\ge -1.$$

   Итак,

   Ответ: $$-1\le a\le 2.$$

4. г) Предикат

   $$\bigl(x(x-a)\ge 0\bigr)\to \bigl((x-3)(x-1)\ge 0\bigr)$$

   является тождеством тогда и только тогда, когда импликация ложна только в случае, если истинно левое высказывание и ложно правое. Это равносильно:

   $$x(x-a)<0 \;\cup\; (x-3)(x-1)\ge 0.$$

   Неравенство

   $$ (x-3)(x-1)\ge 0 $$

   выполняется при

   $$x\le 1 \quad \text{или} \quad x\ge 3.$$

   Неравенство

   $$x(x-a)<0$$

   выполняется между корнями $$0$$ и $$a.$$ Чтобы объединение было тождеством, нужно, чтобы промежуток, где правая часть не выполняется, был полностью покрыт левым неравенством. Это возможно при $$a\ge 3.$$

   Ответ: $$a\ge 3.$$