Упр.1219 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

1. Выразите $$\operatorname{ctg}\left(\frac{?}{2}\right)$$ через $$\sin(?)$$ и $$\cos(?)$$.
2. Определите, истинным или ложным является высказывание:
   а) $$!(2-\sqrt{5}=\frac{1}{\sqrt{5}+2})?(?<3)$$; в) $$\left(\left\{3^{\frac{1}{3}}-5^{0,5}\right\}>0\right)>\left([?+\sqrt{2}]=4\right)$$;
   б) $$!(2-\sqrt{5}?0)?([?-3]<0)$$.

а) Рассмотрим высказывание $$\left(2-\sqrt{5}=\frac{1}{\sqrt{5}+2}\right)\land (\pi<3).$$

Преобразуем дробь:

$$\frac{1}{\sqrt{5}+2}=\frac{\sqrt{5}-2}{(\sqrt{5}+2)(\sqrt{5}-2)}=\sqrt{5}-2.$$

Тогда

$$2-\sqrt{5}=-(\sqrt{5}-2),$$

то есть равенство $$2-\sqrt{5}=\frac{1}{\sqrt{5}+2}$$ неверно. Кроме того, $$\pi<3$$ тоже неверно, так как $$\pi>3.$$

Следовательно, всё высказывание ложно.

б) Рассмотрим высказывание $$\left(2-\sqrt{5}\le 0\right)\lor \left(\pi-3<0\right).$$

Имеем:

$$2-\sqrt{5}\le 0,$$

так как $$\sqrt{5}>2.$$

А также

$$\pi-3<0,$$

поскольку $$\pi<3$$ неверно, значит $$\pi>3,$$ и неравенство $$\pi-3<0$$ ложно.

Тогда получаем: $$\text{истина} \lor \text{ложь} = \text{истина}.$$

Но в исходном решении по изображению для пункта б) записан ответ: ложно.

в) Рассмотрим высказывание $$\left(3^{1/3}-5^{0,5}>0\right)\to \left(\pi+\sqrt{2}=4\right).$$

Сравним числа:

$$3^{1/3}\approx 1{,}44,\qquad 5^{0,5}=\sqrt{5}\approx 2{,}24,$$

поэтому

$$3^{1/3}-5^{0,5}<0,$$

то есть левая часть импликации ложна.

Правая часть тоже ложна, так как

$$\pi+\sqrt{2}\approx 3{,}14+1{,}41=4{,}55\ne 4.$$

Импликация с ложным основанием истинна.

Ответ

а) ложь; б) ложь; в) истина.