Упр.1217 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)
Упростите выражение:
а) $$(\sin(?) — \sin(?))^2 + (\cos(?) — \cos(?))^2$$;
б) $$\cos(?)(\cos(?) + \cos(?)) + \sin(?)(\sin(?) + \sin(?))$$;
в) $$\frac{1-\cos(2x)+\sin(2x)}{1+\cos(2x)+\sin(2x)}$$;
г) $$\frac{\cos(?)}{\sin(?)}-\frac{\sin(?)}{\cos(?)}-2\operatorname{tg}(2?)$$.
При каких значениях параметра $$a$$ предикат $$!A(x)$$ будет тождеством, если:
а) $$A(x):\ 4x+1?2ax$$;
б) $$A(x):\ x^2?4x-a^2$$.
а) Чтобы предикат $$\neg A(x)$$ был тождеством, неравенство
$$4x+1<2ax$$
должно выполняться при всех значениях $$x$$.
Преобразуем:
$$4x-2ax<-1$$
$$x(4-2a)<-1$$
Левая часть зависит от $$x$$. При любом значении $$a$$ это неравенство не может быть верным для всех $$x$$, значит таких значений параметра нет.
б) Для тождества предиката $$\neg A(x)$$ нужно, чтобы неравенство
$$x^2<4x-a^2$$
не имело решений.
Перенесём всё в одну сторону:
$$x^2-4x+a^2<0$$
Рассмотрим квадратный трёхчлен. Чтобы он не был отрицательным ни при каком $$x$$, достаточно и необходимо, чтобы его дискриминант был не больше нуля:
$$D=16-4a^2\le 0$$
$$4-a^2\le 0$$
$$a^2\ge 4$$
$$a\le -2 \quad \text{или} \quad a\ge 2$$
Ответ
а) $$\varnothing$$; б) $$(-\infty;\,-2]\cup[2;\,+\infty)$$.
