Упр.1217 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

а) A(x): 4x+1?2ax; б) A(x): x^2?4x-a^2.

а) Чтобы предикат $$\neg A(x)$$ был тождеством, неравенство

$$4x+1<2ax$$

должно выполняться при всех значениях $$x$$.

Преобразуем:

$$4x-2ax<-1$$

$$x(4-2a)<-1$$

Левая часть зависит от $$x$$. При любом значении $$a$$ это неравенство не может быть верным для всех $$x$$, значит таких значений параметра нет.

б) Для тождества предиката $$\neg A(x)$$ нужно, чтобы неравенство

$$x^2<4x-a^2$$

не имело решений.

Перенесём всё в одну сторону:

$$x^2-4x+a^2<0$$

Рассмотрим квадратный трёхчлен. Чтобы он не был отрицательным ни при каком $$x$$, достаточно и необходимо, чтобы его дискриминант был не больше нуля:

$$D=16-4a^2\le 0$$

$$4-a^2\le 0$$

$$a^2\ge 4$$

$$a\le -2 \quad \text{или} \quad a\ge 2$$

Ответ

а) $$\varnothing$$; б) $$(-\infty;\,-2]\cup[2;\,+\infty)$$.