Упр.1214 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

1. Упростите выражение:
   а) $$1-2\sin^2(?)$$;
   в) $$\operatorname{ctg}(?)-\operatorname{tg}(?)$$;
   б) $$2\cos^2(?)-1$$;
   г) $$\frac{1-\operatorname{tg}^2(?)}{1+\operatorname{tg}^2(?)}$$.
2. Изобразите на координатной прямой множество тех значений переменной $$x$$, для которых предикат $$!A(x)$$ принимает значение «истина», если:
   а) $$A(x):\ x^3+x-2?0$$;
   б) $$A(x):\ \frac{x^3+3x-4}{x^2+3x-4}?0$$.

Нужно найти множество значений $$x$$, при которых предикат $$\neg A(x)$$ истинный, то есть выполнить отрицание неравенства.

а) Если $$A(x): x^3+x-2\le 0,$$ то

$$\neg A(x): x^3+x-2>0.$$

Разложим на множители:

$$x^3+x-2=x^3-1+x-1=(x-1)(x^2+x+1)+(x-1)=(x-1)(x^2+x+2).$$

Тогда

$$(x-1)(x^2+x+2)>0.$$

Так как $$x^2+x+2>0$$ при любом $$x$$, получаем:

$$x-1>0,\quad x>1.$$

б) Если $$A(x): \dfrac{x^3+3x-4}{x^2+3x-4}\ge 0,$$ то

$$\neg A(x): \dfrac{x^3+3x-4}{x^2+3x-4}<0.$$

Разложим числитель и знаменатель на множители:

$$x^3+3x-4=x^3-1+3x-3=(x-1)(x^2+x+1)+(x-1)\cdot 3=(x-1)(x^2+x+4),$$

$$x^2+3x-4=(x-1)(x+4).$$

Тогда

$$\dfrac{(x-1)(x^2+x+4)}{(x-1)(x+4)}<0.$$

При $$x\ne 1$$ сокращаем на $$x-1$$:

$$\dfrac{x^2+x+4}{x+4}<0,\quad x\ne 1,\ x\ne -4.$$

Так как $$x^2+x+4>0$$ при любом $$x$$, то неравенство равносильно

$$x+4<0,\quad x<-4.$$

С учётом области определения получаем:

$$x<-4.$$

Ответ

а) $$x\in(1;+\infty)$$;
б) $$x\in(-\infty;-4)$$.