Упр.1214 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

а) A(x): x^3+x-2?0; б) A(x): (x^3+3x-4)/(x^2+3x-4)?0.

Нужно найти множество значений $$x$$, при которых предикат $$\neg A(x)$$ истинный, то есть выполнить отрицание неравенства.

а) Если $$A(x): x^3+x-2\le 0,$$ то

$$\neg A(x): x^3+x-2>0.$$

Разложим на множители:

$$ x^3+x-2=x^3-1+x-1=(x-1)(x^2+x+1)+(x-1)=(x-1)(x^2+x+2). $$

Тогда

$$ (x-1)(x^2+x+2)>0. $$

Так как $$x^2+x+2>0$$ при любом $$x$$, получаем:

$$x-1>0,\quad x>1.$$

б) Если $$A(x): \dfrac{x^3+3x-4}{x^2+3x-4}\ge 0,$$ то

$$\neg A(x): \dfrac{x^3+3x-4}{x^2+3x-4}<0.$$

Разложим числитель и знаменатель на множители:

$$ x^3+3x-4=x^3-1+3x-3=(x-1)(x^2+x+1)+(x-1)\cdot 3=(x-1)(x^2+x+4), $$

$$ x^2+3x-4=(x-1)(x+4). $$

Тогда

$$ \dfrac{(x-1)(x^2+x+4)}{(x-1)(x+4)}<0. $$

При $$x\ne 1$$ сокращаем на $$x-1$$:

$$ \dfrac{x^2+x+4}{x+4}<0,\quad x\ne 1,\ x\ne -4. $$

Так как $$x^2+x+4>0$$ при любом $$x$$, то неравенство равносильно

$$ x+4<0,\quad x<-4. $$

С учётом области определения получаем:

$$x<-4.$$

Ответ

а) $$x\in(1;+\infty)$$;
б) $$x\in(-\infty;-4)$$.