Упр.1210 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

1. Найдите значения $$\sin(?)$$, $$\cos(?)$$, $$\operatorname{tg}(?)$$ и $$\operatorname{ctg}(?)$$, если $$\operatorname{tg}\left(\frac{?}{2}\right)=0{,}5$$.
2. При каком значении переменной $$a$$ предикат $$ax^2+4x+4?0$$ будет тождественно истинным?

Рассмотрим квадратный трехчлен $$ax^2+4x+4$$. Чтобы неравенство

$$ax^2+4x+4\ge 0$$

было тождественно истинным при всех значениях $$x$$, парабола должна быть направлена вверх и не пересекать ось $$x$$ ниже нуля. Значит, необходимо:

$$a>0,$$

а дискриминант должен быть не больше нуля:

$$D=4^2-4\cdot a\cdot 4=16-16a=16(1-a).$$

Тогда

$$D\le 0 \;\Rightarrow\; 16(1-a)\le 0 \;\Rightarrow\; a\ge 1.$$

Совмещая условия $$a>0$$ и $$a\ge 1$$, получаем:

$$a\in[1;+\infty).$$

Ответ

$$a\in[1;+\infty).$$