Упр.1209 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

Задача

Вычислите $$\sin(2\alpha)$$, $$\cos(2\alpha)$$ и $$\operatorname{tg}(2\alpha)$$, если $$\operatorname{tg}(\alpha)=2{,}4$$ и $$\pi<\alpha<\frac{3\pi}{2}$$.
Даны предложения, обозначенные заглавными буквами:

А: Отношение длины окружности к её диаметру равно числу ?.

В: $$1+3+5+7+\ldots+(2n-1)=n^2$$.

С: $$\sqrt{3+2\sqrt{2}}=\sqrt{2}+1$$.

D: Для любого действительного числа $$x$$ верно равенство $$2x^2-x-3=0$$.

E: $$\sqrt{x}=\sqrt{-x}$$.

F: Сумма смежных углов.

G: Найдётся хотя бы одно действительное число $$x$$, такое, что будет выполняться равенство $$2x^2-x-3=0$$.

H: При любых $$x<0$$ верно равенство $$\sqrt{x^2}=-x$$.
Выпишите предложения, которые:

а) являются высказываниями;

б) являются предикатами;

в) являются тождественными предикатами;

г) не являются высказываниями;

д) не являются высказываниями и не являются предикатами.

Отметьте среди них истинные предложения.

Подробный ответ

Разберём каждое предложение.

A. «Отношение длины окружности к её диаметру равно числу $$\pi$$» — это высказывание, и оно истинно.

B. $$1+3+5+7+\dots+(2n-1)=n^2$$ — предикат, так как содержит переменную $$n$$. Это тождественный предикат, потому что равенство верно при любом натуральном $$n$$.

C. $$\sqrt{3+2\sqrt2}=\sqrt2+1$$ — высказывание. Проверим:

$$(\sqrt2+1)^2=2+1+2\sqrt2=3+2\sqrt2,$$
значит,
$$\sqrt{3+2\sqrt2}=\sqrt2+1.$$
Это истинное высказывание.

D. «Для любого действительного числа $$x$$ верно равенство $$2x^2-x-3=0$$» — высказывание, но ложное, так как равенство не выполняется при всех $$x$$.

E. $$\sqrt{x}=\sqrt{-x}$$ — предикат, так как содержит переменную $$x$$. Он не является тождественным.

F. «Сумма смежных углов» — это не высказывание и не предикат, так как это не законченное предложение.

G. «Найдётся хотя бы одно действительное число $$x$$, такое, что будет выполняться равенство $$2x^2-x-3=0$$» — высказывание. Проверим существование корней:

$$D=(-1)^2-4\cdot 2\cdot(-3)=1+24=25>0,$$
значит, уравнение имеет действительные корни. Следовательно, предложение истинно.

H. «При любых $$x<0$$ верно равенство $$\sqrt{x^2}=-x$$» — высказывание. Так как при $$x<0$$ имеем $$\sqrt{x^2}=|x|=-x$$, предложение истинно.

Теперь распределим предложения.