Упр.1208 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Макарычев, Миндюк, Нешков 9 класс, Просвещение: 1208. Постройте график функции y=|x|(x+1)-5x и найдите, при каких значениях m прямая y=m имеет с графиком ровно две общие точки.

Подробный ответ

Рассмотрим функцию

$$y=|x|(x+1)-5x.$$

Разберём её по случаям.

1) Если $$x \ge 0$$, то $$|x|=x$$, значит

$$y=x(x+1)-5x=x^2+x-5x=x^2-4x.$$

Это парабола, ветви направлены вверх. Её вершина:

$$x_0=-\frac{-4}{2\cdot 1}=2,$$

$$y_0=2^2-4\cdot 2=4-8=-4.$$

2) Если $$x<0$$, то $$|x|=-x$$, значит

$$y=-x(x+1)-5x=-x^2-x-5x=-x^2-6x.$$

Это парабола, ветви направлены вниз. Её вершина:

$$x_0=-\frac{-6}{2\cdot(-1)}=-3,$$

$$y_0=-(-3)^2-6\cdot(-3)=-9+18=9.$$

Следовательно, график функции состоит из двух параболических ветвей и имеет:

максимум $$y=9$$ при $$x=-3$$;
минимум $$y=-4$$ при $$x=2$$.

Чтобы прямая $$y=m$$ имела с графиком ровно две общие точки, она должна касаться графика в одной из вершин и не пересекать его в других точках. Это возможно при

$$m=-4 \quad \text{или} \quad m=9.$$