Упр.1192 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

Задача

Выразите через тригонометрические функции угла ?: а) $$\operatorname{tg}\left(\frac{?}{4}+?\right)$$; в) $$\operatorname{tg}\left(\frac{?}{3}-?\right)$$; д) $$\operatorname{tg}\left(\frac{?}{6}+?\right)$$; б) $$\operatorname{ctg}\left(\frac{?}{4}-?\right)$$; г) $$\operatorname{ctg}\left(\frac{?}{3}+?\right)$$; е) $$\operatorname{ctg}\left(\frac{?}{6}+?\right)$$.

Из отрезка $$[0;1]$$ случайным образом выбирается точка. Обозначим ее координату через $$x$$. Найдите вероятность того, что: а) $$x^2<0{,}16$$; г) $$x^3\mathord{?}0{,}027$$; ж) $$(x+1)^2>2{,}25$$; б) $$x^2\mathord{?}0{,}25$$; д) $$\left\{\begin{array}{l}x^2\mathord{?}0{,}08,\\2x^2\mathord{?}0{,}02\end{array}\right.$$; з) $$(x-2)^2\mathord{?}1$$; в) $$x^2-1<-0{,}64$$; е) $$\left\{\begin{array}{l}x^2\mathord{?}0{,}01,\\x\mathord{?}0{,}5\end{array}\right.$$.

Подробный ответ

Точка выбирается из отрезка $$[0;1]$$ равновероятно, поэтому искомая вероятность равна длине подходящего промежутка, делённой на длину всего отрезка, то есть на $$1$$.

а) $$x^2<0{,}16$$
$$x^2-0{,}16<0$$
$$$(x-0{,}4)(x+0{,}4)<0$$
$$-0{,}4<x<0{,}4$$
На отрезке $$[0;1]$$ получаем $$0<x<0{,}4$$, значит
$$P=0{,}4.$$
б) $$x^2\ge 0{,}25$$
$$x^2-0{,}25\ge 0$$
$$$(x-0{,}5)(x+0{,}5)\ge 0$$
На отрезке $$[0;1]$$ это даёт $$0{,}5\le x\le 1$$, поэтому
$$P=1-0{,}5=0{,}5.$$
в) $$x^2-1<-0{,}64$$
$$x^2-0{,}36<0$$
$$$(x-0{,}6)(x+0{,}6)<0$$
$$-0{,}6<x<0{,}6$$
На отрезке $$[0;1]$$ получаем $$0<x<0{,}6$$, значит
$$P=0{,}6.$$
г) $$x^3\ge 0{,}027$$
$$x^3\ge 0{,}027$$
$$x\ge 0{,}3$$
Тогда
$$P=1-0{,}3=0{,}7.$$
д) $$\begin{cases}0{,}5x^2\le 0{,}08,\\ 2x^2\ge 0{,}02.\end{cases}$$
Из первого неравенства:
$$x^2\le 0{,}16,$$
$$$(x-0{,}4)(x+0{,}4)\le 0,$$
$$-0{,}4\le x\le 0{,}4.$$
Из второго неравенства:
$$x^2\ge 0{,}01,$$
$$$(x-0{,}1)(x+0{,}1)\ge 0,$$
$$x\le -0{,}1 \text{ или } x\ge 0{,}1.$$
На отрезке $$[0;1]$$ пересечение условий:
$$0{,}1\le x\le 0{,}4.$$
Следовательно,
$$P=0{,}4-0{,}1=0{,}3.$$
е) $$\begin{cases}x^2\le 0{,}01,\\ x\ge 0{,}5.\end{cases}$$
$$x^2\le 0{,}01$$
$$$(x-0{,}1)(x+0{,}1)\le 0,$$
$$-0{,}1\le x\le 0{,}1.$$
Пересечение с условием $$x\ge 0{,}5$$ на отрезке $$[0;1]$$ отсутствует, значит
$$P=0.$$
ж) $$(x+1)^2>2{,}25$$
$$(x+1)^2-2{,}25>0$$
$$$(x+1-1{,}5)(x+1+1{,}5)>0$$
$$$(x-0{,}5)(x+2{,}5)>0$$
На отрезке $$[0;1]$$ получаем $$x>0{,}5$$, значит
$$P=1-0{,}5=0{,}5.$$
з) $$(x-2)^2\le 1$$
$$(x-2)^2-1\le 0$$
$$$(x-3)(x-1)\le 0$$
$$1\le x\le 3$$
На отрезке $$[0;1]$$ подходит только точка $$x=1$$, а одна точка имеет нулевую длину. Поэтому
$$P=0.$$