Упр.1190 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Макарычев, Миндюк, Нешков 9 класс, Просвещение: 1190. Антон решает задачи с вероятностью успеха 0,75. Ему предложено решить 10 задач. Найдите вероятность того, что Антон правильно решит: а) 8 задач; б) не менее 8 задач; в) не менее 6 задач.

Пусть $$p=0{,}75$$ — вероятность правильно решить одну задачу, тогда $$q=1-p=0{,}25$$ — вероятность ошибки.

Используем формулу Бернулли:

$$P_n(k)=C_n^k p^k q^{\,n-k}.$$

1. Ровно 8 задач из 10:

   $$P_{10}(8)=C_{10}^8\cdot 0{,}75^8\cdot 0{,}25^2.$$

   $$C_{10}^8=45,$$

   $$P_{10}(8)=45\cdot 0{,}75^8\cdot 0{,}25^2\approx 0{,}28.$$

2. Не менее 8 задач:

   $$P=P_{10}(8)+P_{10}(9)+P_{10}(10).$$

   $$P=C_{10}^8\cdot 0{,}75^8\cdot 0{,}25^2+C_{10}^9\cdot 0{,}75^9\cdot 0{,}25+C_{10}^{10}\cdot 0{,}75^{10}.$$

   $$P\approx 0{,}28+0{,}28+0{,}06\approx 0{,}53.$$

3. Не менее 6 задач:

   $$P=P_{10}(6)+P_{10}(7)+P_{10}(8)+P_{10}(9)+P_{10}(10).$$

   $$P=C_{10}^6\cdot 0{,}75^6\cdot 0{,}25^4+C_{10}^7\cdot 0{,}75^7\cdot 0{,}25^3+C_{10}^8\cdot 0{,}75^8\cdot 0{,}25^2+C_{10}^9\cdot 0{,}75^9\cdot 0{,}25+C_{10}^{10}\cdot 0{,}75^{10}.$$

   $$P\approx 0{,}92.$$

Ответ

а) $$0{,}28$$; б) $$0{,}53$$; в) $$0{,}92$$.