Упр.1170 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Макарычев, Миндюк, Нешков 9 класс, Просвещение: 1170. Имеет ли предел последовательность (x_n), если x_n=(-1)^n n/(n+1)?

Рассмотрим последовательность

$$x_n=\frac{(-1)^n\cdot n}{n+1}.$$

Найдём пределы её чётных и нечётных членов.

Если $$n=2k,$$ то

$$x_{2k}=\frac{( -1)^{2k}\cdot 2k}{2k+1}=\frac{2k}{2k+1}\to 1 \quad \text{при } k\to\infty.$$

Если $$n=2k-1,$$ то

$$x_{2k-1}=\frac{(-1)^{2k-1}\cdot (2k-1)}{2k}=-\frac{2k-1}{2k}\to -1 \quad \text{при } k\to\infty.$$

Так как подпоследовательности чётных и нечётных членов имеют разные пределы, исходная последовательность предела не имеет.

Ответ

Предела нет.