Упр.117 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Макарычев, Миндюк, Нешков 9 класс, Просвещение: 117. Упростите 1/((x-1)(x-2))+1/((x-2)(x-3))+1/((x-3)(x-4))+1/((x-4)(x-5)).

Преобразуем каждую пару дробей, приводя к общему знаменателю:

$$ \frac{1}{(x-1)(x-2)}+\frac{1}{(x-2)(x-3)} = \frac{x-3+x-1}{(x-1)(x-2)(x-3)} = \frac{2(x-2)}{(x-1)(x-2)(x-3)} = \frac{2}{(x-1)(x-3)} $$

$$ \frac{1}{(x-3)(x-4)}+\frac{1}{(x-4)(x-5)} = \frac{x-5+x-3}{(x-3)(x-4)(x-5)} = \frac{2(x-4)}{(x-3)(x-4)(x-5)} = \frac{2}{(x-3)(x-5)} $$

Теперь складываем полученные дроби:

$$ \frac{2}{(x-1)(x-3)}+\frac{2}{(x-3)(x-5)} = \frac{2(x-5)+2(x-1)}{(x-1)(x-3)(x-5)} = \frac{4(x-3)}{(x-1)(x-3)(x-5)} = \frac{4}{(x-1)(x-5)} $$

Так как $$ (x-1)(x-5)=x^2-6x+5 $$, получаем:

$$ \frac{4}{(x-1)(x-5)}=\frac{4}{x^2-6x+5} $$

Ответ: $$\frac{4}{x^2-6x+5}$$