Упр.1168 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Макарычев, Миндюк, Нешков 9 класс, Просвещение: 1168. Постройте график функции y=(|x|-2)/(|x|+2).

Рассмотрим функцию

$$y=\frac{|x|-2}{|x|+2}.$$

Так как в формуле стоит модуль, функция чётная:

$$y(-x)=\frac{|-x|-2}{|-x|+2}=\frac{|x|-2}{|x|+2}=y(x).$$

Поэтому достаточно построить график при $$x\ge 0$$, а затем отразить его относительно оси $$Oy$$.

При $$x\ge 0$$ имеем $$|x|=x$$, значит

$$y=\frac{x-2}{x+2}=1-\frac{4}{x+2}.$$

Это график гиперболы, сдвинутой на 2 единицы влево и на 1 единицу вверх. Для правой ветви удобно отметить точки:

$$x=0,\quad y=\frac{-2}{2}=-1;$$

$$x=2,\quad y=0;$$

$$x=4,\quad y=\frac{2}{6}=\frac13.$$

Затем строим симметричную часть графика относительно оси $$Oy$$.

Ответ

График функции состоит из двух симметричных относительно оси $$Oy$$ ветвей. При $$x\ge 0$$ он задаётся формулой $$y=\frac{x-2}{x+2}=1-\frac{4}{x+2}$$, проходит через точки $$\left(0,-1\right)$$ и $$\left(2,0\right)$$ и имеет горизонтальную асимптоту $$y=1$$.