Упр.116 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Макарычев, Миндюк, Нешков 9 класс, Просвещение: 116. Запишите уравнение кривой, все точки которой равноудалены от точки F(0; а) и прямой y=b, если: а) b < а; б) b > а.

Пусть точка $$M(x;y)$$ равноудалена от точки $$F(0;a)$$ и прямой $$y=b$$.

Тогда расстояние от $$M$$ до прямой равно

$$|y-b|,$$

а расстояние от $$M$$ до точки $$F(0;a)$$ равно

$$\sqrt{x^2+(y-a)^2}.$$

По условию эти расстояния равны, значит

$$|y-b|=\sqrt{x^2+(y-a)^2}.$$

Возведём в квадрат:

$$ (y-b)^2=x^2+(y-a)^2. $$

Раскроем скобки:

$$ y^2-2by+b^2=x^2+y^2-2ay+a^2. $$

Сократим $$y^2$$ и перенесём слагаемые:

$$2y(a-b)=x^2+a^2-b^2.$$

Отсюда

$$y=\frac{x^2+a^2-b^2}{2(a-b)}.$$

Преобразуем:

$$y=\frac{x^2}{2(a-b)}+\frac{a+b}{2}.$$

Если $$b<a$$, то $$a-b>0$$, и уравнение имеет вид

$$y=\frac{x^2}{2(a-b)}+\frac{a+b}{2}.$$

Если $$b>a$$, то $$a-b<0$$, поэтому

$$y=-\frac{x^2}{2(b-a)}+\frac{a+b}{2}.$$

Ответ

а) $$y=\frac{x^2}{2(a-b)}+\frac{a+b}{2}$$ при $$b<a$$;

б) $$y=-\frac{x^2}{2(b-a)}+\frac{a+b}{2}$$ при $$b>a$$.