Упр.1139 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Макарычев, Миндюк, Нешков 9 класс, Просвещение: 1139. Докажите, что многочлен x^4-4x^3-6x^2-3x+9 не имеет отрицательных корней.

Рассмотрим многочлен

$$x^4-4x^3-6x^2-3x+9.$$

Преобразуем его:

$$x^4-4x^3-6x^2-3x+9=(x^4-6x^2+9)-(4x^3+3x)=(x^2-3)^2-x(4x^2+3).$$

Если $$x<0,$$ то

$$x^2-3)^2\ge 0,$$

а также

$$4x^2+3>0,$$

поэтому при $$x<0$$ имеем

$$-x(4x^2+3)>0.$$

Следовательно,

$$x^4-4x^3-6x^2-3x+9=(x^2-3)^2-x(4x^2+3)>0.$$

Значит, при отрицательных $$x$$ многочлен не может обращаться в нуль, то есть отрицательных корней у него нет.

Ответ

Многочлен $$x^4-4x^3-6x^2-3x+9$$ не имеет отрицательных корней.