Упр.1136 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

Задача

а) C(n-1, 3)+C(n, 3)=30; в) 14C(x, x-2)=15A(x-3, 2);
б) C(n, 4)+2C(n-1, 4)+C(n-1, 2)=80; г) 6C(x, x-3)=11A(x-1, 2).

Подробный ответ

а) $$C_{n-1}^3+C_n^3=30$$
$$\frac{(n-1)!}{(n-4)!\,3!}+\frac{n!}{(n-3)!\,3!}=30$$
$$\frac{(n-1)(n-2)(n-3)}{6}+\frac{n(n-1)(n-2)}{6}=30$$
$$\frac{(n-1)(n-2)\bigl((n-3)+n\bigr)}{6}=30$$
$$(n-1)(n-2)(2n-3)=180$$
$$2n^3-9n^2+13n-186=0$$
$$ (n-6)(2n^2+3n+31)=0 $$
Так как $$D=3^2-4\cdot 2\cdot 31=-239<0,$$ то квадратный множитель корней не имеет. Следовательно, $$n=6$$.
б) $$C_n^4+2C_{n-1}^4+C_{n-1}^2=80$$
$$\frac{n!}{(n-4)!\,4!}+2\cdot\frac{(n-1)!}{(n-5)!\,4!}+\frac{(n-1)!}{(n-3)!\,2!}=80$$
$$\frac{n(n-1)(n-2)(n-3)}{24}+\frac{2(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)}{24}+\frac{(n-1)(n-2)}{2}=80$$
$$ (n-1)(n-2)\bigl(n^2-3n+2(n-3)(n-4)+12\bigr)=1920 $$
$$ (n^2-3n+2)(3n^2-17n+36)=1920 $$
$$3n^4-26n^3+93n^2-142n-1848=0$$
$$ (n-7)(3n^3-5n^2+58n+264)=0 $$
Отсюда $$n=7$$.
в) $$14C_x^{x-2}=15A_{x-3}^2$$
$$14\cdot\frac{x!}{(x-2)!\,2!}=15\cdot\frac{(x-3)!}{(x-5)!}$$
$$14\cdot\frac{x(x-1)}{2}=15(x-3)(x-4)$$
$$7(x^2-x)=15(x^2-7x+12)$$
$$8x^2-98x+180=0$$
$$4x^2-49x+90=0$$
$$D=49^2-4\cdot 4\cdot 90=961$$
$$x_{1,2}=\frac{49\pm 31}{8}$$
$$x_1=\frac{9}{4},\quad x_2=10$$
Так как для сочетаний и размещений аргумент должен быть целым числом, подходит только $$x=10$$.
г) $$6C_x^{x-3}=11A_{x-1}^2$$
$$6\cdot\frac{x!}{(x-3)!\,3!}=11\cdot\frac{(x-1)!}{(x-3)!}$$
$$6\cdot\frac{x(x-1)(x-2)}{6}=11(x-1)(x-2)$$
$$x(x-1)(x-2)=11(x-1)(x-2)$$
$$ (x-1)(x-2)(x-11)=0 $$
С учётом области определения $$x\ge 3$$ получаем $$x=11$$.