Упр.113 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Макарычев, Миндюк, Нешков 9 класс, Просвещение: 113. Сумма катетов прямоугольного треугольника равна 12 см. Найдите катеты треугольника, при которых он имеет наибольшую плошадь.

Пусть катеты прямоугольного треугольника равны $$a$$ см и $$b$$ см. Тогда

$$a+b=12, \qquad b=12-a.$$

Площадь треугольника:

$$S=\frac12 ab=\frac12 a(12-a).$$

Получаем квадратичную функцию:

$$S=6a-\frac12 a^2.$$

Это парабола, ветви которой направлены вниз, значит, наибольшее значение площади достигается в вершине:

$$a_0=-\frac{6}{2\cdot(-\frac12)}=6.$$

Тогда

$$b=12-6=6.$$

Следовательно, наибольшую площадь треугольник имеет при равных катетах.

Ответ

$$6\text{ см и }6\text{ см}.$$