Упр.1124 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

1. Докажите тождество $$\frac{\sin(?+?)}{\cos(2?-?)}\cdot\frac{\cos^2(-?)}{\sin(\frac{3?}{2}-?)}\cdot\frac{\operatorname{ctg}(?+?)}{\operatorname{tg}(\frac{3?}{2}-?)}=\sin(?)$$.
2. Решите неравенство:
   а) $$\frac{3x^2+4x-4}{x^2+x+1}<1$$;
   б) $$\frac{3x^2+2x-1}{x^2-x+1}>0$$.

а) Так как $$x^2+x+1>0$$ при любом $$x$$, то можно умножить неравенство на знаменатель, не меняя знак:

$$\frac{3x^2+4x-4}{x^2+x+1}<1$$

$$3x^2+4x-4<x^2+x+1$$

$$2x^2+3x-5<0$$

Найдём корни квадратного трёхчлена:

$$D=3^2-4\cdot 2\cdot(-5)=9+40=49$$

$$x_{1,2}=\frac{-3\pm 7}{2\cdot 2}$$

$$x_1=-\frac52,\quad x_2=1$$

Так как коэффициент при $$x^2$$ положительный, то неравенство $$2x^2+3x-5<0$$ выполняется между корнями:

$$-\frac52<x<1$$

б) Так как $$x^2-x+1>0$$ при любом $$x$$, то знак неравенства не меняется:

$$\frac{3x^2+2x-1}{x^2-x+1}>0$$

$$3x^2+2x-1>0$$

Найдём корни:

$$D=2^2-4\cdot 3\cdot(-1)=4+12=16$$

$$x_{1,2}=\frac{-2\pm 4}{2\cdot 3}$$

$$x_1=-1,\quad x_2=\frac13$$

Тогда

$$3x^2+2x-1=(x+1)(3x-1)$$

Произведение положительно вне промежутка между корнями:

$$x<-1 \quad \text{или} \quad x>\frac13$$

Ответ

а) $$\left(-\frac52;1\right)$$; б) $$(-\infty;-1)\cup\left(\frac13;+\infty\right)$$.