Упр.1124 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Макарычев, Миндюк, Нешков 9 класс, Просвещение: 1124. Решите неравенство: а) (3x^2+4x-4)/(x^2+x+1) < 1; б) (3x^2+2x-1)/(x^2-x+1) > 0.

а) Так как $$x^2+x+1>0$$ при любом $$x$$, то можно умножить неравенство на знаменатель, не меняя знак:

$$ \frac{3x^2+4x-4}{x^2+x+1}<1 $$

$$ 3x^2+4x-4<x^2+x+1 $$

$$ 2x^2+3x-5<0 $$

Найдём корни квадратного трёхчлена:

$$ D=3^2-4\cdot 2\cdot(-5)=9+40=49 $$

$$ x_{1,2}=\frac{-3\pm 7}{2\cdot 2} $$

$$ x_1=-\frac52,\quad x_2=1 $$

Так как коэффициент при $$x^2$$ положительный, то неравенство $$2x^2+3x-5<0$$ выполняется между корнями:

$$ -\frac52<x<1 $$

б) Так как $$x^2-x+1>0$$ при любом $$x$$, то знак неравенства не меняется:

$$ \frac{3x^2+2x-1}{x^2-x+1}>0 $$

$$ 3x^2+2x-1>0 $$

Найдём корни:

$$ D=2^2-4\cdot 3\cdot(-1)=4+12=16 $$

$$ x_{1,2}=\frac{-2\pm 4}{2\cdot 3} $$

$$ x_1=-1,\quad x_2=\frac13 $$

Тогда

$$ 3x^2+2x-1=(x+1)(3x-1) $$

Произведение положительно вне промежутка между корнями:

$$ x<-1 \quad \text{или} \quad x>\frac13 $$

Ответ

а) $$\left(-\frac52;1\right)$$; б) $$(-\infty;-1)\cup\left(\frac13;+\infty\right)$$.