Упр.1123 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Макарычев, Миндюк, Нешков 9 класс, Просвещение: 1123. Решите уравнение: а) v(3x)-v(2x)=1; б) x+v(x+1)=11.

а) $$\sqrt{3x}-\sqrt{2x}=1$$

Перенесём один корень вправо:

$$\sqrt{3x}=\sqrt{2x}+1$$

Возведём обе части в квадрат:

$$3x=2x+2\sqrt{2x}+1$$

$$x-1=2\sqrt{2x}$$

Снова возведём в квадрат:

$$x^2-2x+1=8x$$

$$x^2-10x+1=0$$

Найдём корни:

$$D=10^2-4\cdot 1\cdot 1=96$$

$$x=\frac{10\pm\sqrt{96}}{2}=\frac{10\pm 4\sqrt6}{2}=5\pm 2\sqrt6$$

Проверим область определения: $$3x\ge 0,\; 2x\ge 0,$$ значит $$x\ge 0.$$

Подходит только корень $$x=5+2\sqrt6,$$ так как второй корень отрицателен.

б) $$x+\sqrt{x+1}=11$$

Перенесём корень вправо:

$$\sqrt{x+1}=11-x$$

Возведём обе части в квадрат:

$$x+1=(11-x)^2$$

$$x+1=121-22x+x^2$$

$$x^2-23x+120=0$$

$$D=23^2-4\cdot 120=529-480=49$$

$$x=\frac{23\pm 7}{2}$$

$$x_1=8,\quad x_2=15$$

Проверим:

$$8+\sqrt{8+1}=8+3=11$$

$$15+\sqrt{15+1}=15+4=19\ne 11$$

Значит, подходит только $$x=8.$$

Ответ

а) $$5+2\sqrt6$$; б) $$8$$.