Упр.1123 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)
- Преобразуйте выражение:
а) $$\operatorname{tg}^2(?-?)-\operatorname{ctg}^2\left(\frac{3?}{2}-?\right)$$;
б) $$\cos^2\left(\frac{3?}{2}-?\right)+\sin^2(?+?)$$;
в) $$\cos^2(?+?)-\sin\left(\frac{3?}{2}+?\right)\sin\left(\frac{?}{2}-?\right)$$;
г) $$\operatorname{tg}\left(\frac{?}{2}+?\right)\operatorname{ctg}(-?)+\operatorname{tg}^2\left(\frac{3?}{2}+?\right)$$. - Решите уравнение:
а) $$\sqrt{3x}-\sqrt{2x}=1$$;
б) $$x+\sqrt{x+1}=11$$.
а) $$\sqrt{3x}-\sqrt{2x}=1$$
Перенесём один корень вправо:
$$\sqrt{3x}=\sqrt{2x}+1$$
Возведём обе части в квадрат:
$$3x=2x+2\sqrt{2x}+1$$
$$x-1=2\sqrt{2x}$$
Снова возведём в квадрат:
$$x^2-2x+1=8x$$
$$x^2-10x+1=0$$
Найдём корни:
$$D=10^2-4\cdot 1\cdot 1=96$$
$$x=\frac{10\pm\sqrt{96}}{2}=\frac{10\pm 4\sqrt6}{2}=5\pm 2\sqrt6$$
Проверим область определения: $$3x\ge 0,\; 2x\ge 0,$$ значит $$x\ge 0.$$
Подходит только корень $$x=5+2\sqrt6,$$ так как второй корень отрицателен.
б) $$x+\sqrt{x+1}=11$$
Перенесём корень вправо:
$$\sqrt{x+1}=11-x$$
Возведём обе части в квадрат:
$$x+1=(11-x)^2$$
$$x+1=121-22x+x^2$$
$$x^2-23x+120=0$$
$$D=23^2-4\cdot 120=529-480=49$$
$$x=\frac{23\pm 7}{2}$$
$$x_1=8,\quad x_2=15$$
Проверим:
$$8+\sqrt{8+1}=8+3=11$$
$$15+\sqrt{15+1}=15+4=19\ne 11$$
Значит, подходит только $$x=8.$$
Ответ
а) $$5+2\sqrt6$$; б) $$8$$.
