Упр.1120 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Макарычев, Миндюк, Нешков 9 класс, Просвещение: 1120. Решите уравнение: а) A(2n, 3)=20A(n, 2); б) A(n, 4)=12A(n, 2).

а) $$A_{2n}^3=20A_n^2$$

По формуле $$A_n^k=\frac{n!}{(n-k)!}$$ получаем:

$$\frac{(2n)!}{(2n-3)!}=20\cdot \frac{n!}{(n-2)!}$$

$$2n(2n-1)(2n-2)=20n(n-1)$$

$$2n(2n-1)(n-1)=10n(n-1)$$

Так как $$n>1$$, делим на $$n(n-1)$$:

$$2(2n-1)=10$$

$$4n-2=10$$

$$4n=12$$

$$n=3$$

Проверка: $$A_6^3=120$$, $$20A_3^2=20\cdot 6=120$$.

б) $$A_n^4=12A_n^2$$

$$\frac{n!}{(n-4)!}=12\cdot \frac{n!}{(n-2)!}$$

$$\frac{1}{(n-4)!}\cdot (n-2)! = 12$$

Удобнее записать через произведение:

$$n(n-1)(n-2)(n-3)=12n(n-1)$$

Так как $$n>3$$, делим на $$n(n-1)$$:

$$ (n-2)(n-3)=12$$

$$n^2-5n+6=12$$

$$n^2-5n-6=0$$

$$D=25+24=49$$

$$n=\frac{5\pm 7}{2}$$

$$n_1=6,\quad n_2=-1$$

Подходит только $$n=6$$.

Ответ

а) $$3$$; б) $$6$$.