Упр.1110 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

1. Упростите выражение $$\frac{\left(x^{\frac{1}{3}}+y^{\frac{1}{3}}\right)\left(x^{\frac{2}{3}}+y^{\frac{2}{3}}-x^{\frac{1}{3}}y^{\frac{1}{3}}\right)}{\left(x^{-\frac{1}{6}}y^{\frac{5}{6}}+x^{\frac{1}{3}}y^{\frac{1}{3}}\right)^2\left(x^{-\frac{1}{6}}y^{\frac{5}{6}}-x^{\frac{1}{3}}y^{\frac{1}{3}}\right)^2}$$.
2. Докажите, что значение выражения $$\sqrt{11+6\sqrt{2}}+\sqrt{11-6\sqrt{2}}$$ — натуральное число.

Преобразуем выражение:

$$\sqrt{11+6\sqrt2}+\sqrt{11-6\sqrt2}$$

Заметим, что

$$11+6\sqrt2=9+2\cdot 3\sqrt2+2=(3+\sqrt2)^2,$$
$$11-6\sqrt2=9-2\cdot 3\sqrt2+2=(3-\sqrt2)^2.$$

Тогда

$$\sqrt{11+6\sqrt2}+\sqrt{11-6\sqrt2}=\sqrt{(3+\sqrt2)^2}+\sqrt{(3-\sqrt2)^2}.$$

Так как $$3+\sqrt2>0$$ и $$3-\sqrt2>0,$$ получаем

$$\sqrt{(3+\sqrt2)^2}+\sqrt{(3-\sqrt2)^2}=3+\sqrt2+3-\sqrt2=6.$$

Следовательно, значение выражения — натуральное число.

Ответ

$$6$$