Упр.1109 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Макарычев, Миндюк, Нешков 9 класс, Просвещение: 1109. Решите неравенство v((3x-1)/(2-x)) < 1.

Рассмотрим неравенство

$$\sqrt{\frac{3x-1}{2-x}}<1.$$

Так как левая часть неотрицательна, возведём обе части в квадрат:

$$\frac{3x-1}{2-x}<1.$$

Перенесём 1 в левую часть:

$$\frac{3x-1-(2-x)}{2-x}<0,$$

$$\frac{4x-3}{2-x}<0.$$

Критические точки: $$x=\frac34$$ и $$x=2.$$

Исследуем знак дроби:

• при $$x<\frac34$$ числитель отрицателен, знаменатель положителен, дробь отрицательна;
• при $$\frac34<x<2$$ числитель и знаменатель положительны, дробь положительна;
• при $$x>2$$ числитель положителен, знаменатель отрицателен, дробь отрицательна.

Кроме того, подкоренное выражение должно быть неотрицательным:

$$\frac{3x-1}{2-x}\ge 0.$$

Отсюда

$$\frac13\le x<2.$$

Пересекаем это условие с решением неравенства $$\frac{4x-3}{2-x}<0$$:

$$x\in\left[\frac13;\frac34\right).$$

Ответ

$$\left[\frac13;\frac34\right).$$