Упр.1108 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Макарычев, Миндюк, Нешков 9 класс, Просвещение: 1108. При каких значениях параметра а уравнение x^4+ax^2+a-1=0 имеет только два корня?

Рассмотрим уравнение как квадратное относительно $$x^2$$:

$$x^4+ax^2+a-1=0.$$

Положим $$t=x^2$$. Тогда получаем:

$$t^2+at+a-1=0.$$

Найдём дискриминант:

$$D=a^2-4(a-1)=a^2-4a+4=(a-2)^2.$$

Тогда корни уравнения относительно $$t$$ равны:

$$t_1=\frac{-a-(a-2)}{2}=1-a,$$

$$t_2=\frac{-a+(a-2)}{2}=-1.$$

Так как $$t=x^2$$, то значение $$t_2=-1$$ не даёт действительных корней. Чтобы уравнение имело ровно два корня по $$x$$, нужно, чтобы только одно значение $$t$$ было положительным:

$$1-a>0.$$

Отсюда

$$a<1.$$

При $$a=1$$ получаем $$x^4+x^2=0$$, то есть единственный действительный корень $$x=0$$, поэтому этот случай не подходит.

Ответ

$$(-\infty;1)$$