Упр.1108 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

1. Постройте график функции $$y=f(x)$$ и опишите её свойства, если:
   а) $$f(x)=\frac{1}{2}\mathrm{tg}(x)$$;
   б) $$f(x)=-\mathrm{ctg}(x)$$.
2. При каких значениях параметра $$a$$ уравнение $$x^4+ax^2+a-1=0$$ имеет только два корня?

Рассмотрим уравнение как квадратное относительно $$x^2$$:

$$x^4+ax^2+a-1=0.$$

Положим $$t=x^2$$. Тогда получаем:

$$t^2+at+a-1=0.$$

Найдём дискриминант:

$$D=a^2-4(a-1)=a^2-4a+4=(a-2)^2.$$

Тогда корни уравнения относительно $$t$$ равны:

$$t_1=\frac{-a-(a-2)}{2}=1-a,$$

$$t_2=\frac{-a+(a-2)}{2}=-1.$$

Так как $$t=x^2$$, то значение $$t_2=-1$$ не даёт действительных корней. Чтобы уравнение имело ровно два корня по $$x$$, нужно, чтобы только одно значение $$t$$ было положительным:

$$1-a>0.$$

Отсюда

$$a<1.$$

При $$a=1$$ получаем $$x^4+x^2=0$$, то есть единственный действительный корень $$x=0$$, поэтому этот случай не подходит.

Ответ

$$(-\infty;1)$$