Упр.1107 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

1. С помощью каких преобразований из графиков функций $$y=\operatorname{tg}(x)$$ и $$y=\operatorname{ctg}(x)$$ можно получить график функции: а) $$y=-2\operatorname{tg}(x)$$; в) $$y=5\operatorname{tg}(x-2)$$; б) $$y=3\operatorname{ctg}(-x)$$; г) $$y=-4\operatorname{ctg}(x+1)$$?
2. Постройте график функции $$y=2x^2-3|x|-2$$.

Рассмотрим функцию $$y=2x^2-3|x|-2.$$

Так как в формуле есть модуль, запишем её по частям:

$$y= \begin{cases} 2x^2-3x-2, & x\ge 0,\\ 2x^2+3x-2, & x<0. \end{cases}$$

Функция чётная, потому что

$$y(-x)=2(-x)^2-3|-x|-2=2x^2-3|x|-2=y(x).$$

Найдём вершину правой ветви параболы $$y=2x^2-3x-2$$:

$$x_0=-\frac{b}{2a}=\frac{3}{4}, \qquad y_0=2\left(\frac34\right)^2-3\cdot\frac34-2 =\frac98-\frac94-2=-\frac{25}{8}.$$

Значит, на промежутке $$x\ge 0$$ вершина находится в точке $$\left(\frac34,-\frac{25}{8}\right).$$

По чётности график симметричен относительно оси $$Oy$$, поэтому вторая вершина имеет координаты $$\left(-\frac34,-\frac{25}{8}\right).$$

Для построения отметим также точки пересечения с осью $$Oy$$:

$$x=0 \Rightarrow y=-2.$$

Итак, график состоит из двух симметричных ветвей параболы, соединённых в точке $$\left(0,-2\right).$$

Ответ

График функции $$y=2x^2-3|x|-2$$ — чётная кривая, симметричная относительно оси $$Oy$$; её вершины: $$\left(\frac34,-\frac{25}{8}\right)$$ и $$\left(-\frac34,-\frac{25}{8}\right),$$ точка пересечения с осью $$Oy$$: $$\left(0,-2\right).$$