Упр.1100 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Макарычев, Миндюк, Нешков 9 класс, Просвещение: 1100. Из цифр 1, 2, 0, 5, 6 составлены всевозможные пятизначные числа (без повторения цифр). Сколько среди этих чисел таких, которые: а) кратны 4; б) кратны 5?

Рассмотрим пятизначные числа, составленные из цифр $$1, 2, 0, 5, 6$$ без повторения.

1. а) Кратные 4.

   Число делится на $$4$$ тогда и только тогда, когда его последние две цифры образуют число, делящееся на $$4$$.

   Подходящие последние две цифры:

   $$12,\ 16,\ 56,\ 20,\ 60.$$

   Рассмотрим случаи.

   1) Последние две цифры: $$12,\ 16,\ 56$$ — всего $$3$$ варианта. Тогда первые три цифры можно расставить $$3!$$ способами, но первая цифра не должна быть нулём. Среди этих трёх цифр нуля нет, значит:

   $$3 \cdot 3! = 3 \cdot 6 = 18.$$

   2) Последние две цифры: $$20,\ 60$$ — всего $$2$$ варианта. Тогда в первых трёх местах остаются три цифры, среди которых есть ноль. Всего перестановок $$3!$$, но те, где число начинается с нуля, не подходят. Таких перестановок $$2!$$.

   Значит, для каждого из двух вариантов получаем $$3! — 2! = 6 — 2 = 4$$ числа, всего:

   $$2 \cdot 4 = 8.$$

   Итак, всего:

   $$18 + 8 = 26.$$

2. б) Кратные 5.

   Число делится на $$5$$, если оканчивается цифрой $$0$$ или $$5$$.

   1) Если последняя цифра $$0$$, то остальные четыре цифры $$1, 2, 5, 6$$ можно переставить $$4!$$ способами:

   $$4! = 24.$$

   2) Если последняя цифра $$5$$, то первые четыре цифры составляются из $$1, 2, 0, 6$$. Всего перестановок $$4!$$, но те, где число начинается с нуля, не подходят. Таких перестановок $$3!$$.

   Значит, получаем:

   $$4! — 3! = 24 — 6 = 18.$$

   Итого:

   $$24 + 18 = 42.$$

Ответ

а) $$26$$; б) $$42$$.