Упр.11 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Макарычев, Миндюк, Нешков 9 класс, Просвещение: 11. Целой частью числа x называется наибольшее целое число, не превосходящее х (обозначается [х]), а дробной частью числа х называется разность между числом х и его целой частью (обозначается {х}). Например, [5,3]=5, {5,3}=0,3; [-5,3]=-6, {-5,3}=0.7. На рисунке 6 построены графики функций y=[x] и у={x}. Каковы области определения каждой из функций? Найдите для каждой из них: нули функций; промежутки, в которых y < 0, y > 0; промежутки возрастания и убывания; промежутки, на которых функция сохраняет постоянное значение.
а) Для функции $$y=[x]$$
Целая часть числа определена при любом действительном $$x$$, значит
$$D(x)=(-\infty;+\infty).$$
Нули функции получаются, когда $$[x]=0$$, то есть при
$$x\in[0;1).$$
Знак функции:
$$y<0 \text{ при } x\in(-\infty;0),$$
$$y>0 \text{ при } x\in[1;+\infty).$$
Функция не возрастает и не убывает на всей области определения, а является постоянной на каждом промежутке вида
$$[n;n+1), \quad n\in\mathbb{Z}.$$
б) Для функции $$y=\{x\}$$
Дробная часть числа также определена при любом действительном $$x$$, поэтому
$$D(x)=(-\infty;+\infty).$$
Так как $$\{x\}=0$$ тогда и только тогда, когда $$x$$ — целое число, то нули функции:
$$x\in\mathbb{Z}.$$
Значения дробной части всегда удовлетворяют неравенству $$0\le \{x\}<1$$, значит
$$y<0$$ — нет;
$$y>0 \text{ при } x\in(n;n+1), \quad n\in\mathbb{Z}.$$
На каждом промежутке $$[n;n+1)$$ функция возрастает, а в точках целых чисел происходит скачок вниз, поэтому на всей числовой прямой она не является ни возрастающей, ни убывающей.
Постоянных промежутков нет.
Ответ
а) $$D(x)=(-\infty;+\infty)$$; нули: $$x\in[0;1)$$; $$y<0$$ при $$x\in(-\infty;0)$$; $$y>0$$ при $$x\in[1;+\infty)$$; постоянна на $$[n;n+1)$$, $$n\in\mathbb{Z}$$.
б) $$D(x)=(-\infty;+\infty)$$; нули: $$x\in\mathbb{Z}$$; $$y>0$$ при $$x\in(n;n+1)$$, $$n\in\mathbb{Z}$$; возрастает на $$[n;n+1)$$, $$n\in\mathbb{Z}$$; постоянных промежутков нет.
