Упр.1088 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)
- Докажите неравенство:
а) $$\sin 31^\circ+\cos 59^\circ>1$$;
б) $$\sin 58^\circ+\cos 61^\circ<\sqrt{3}$$. - При каких действительных значениях параметра $$a$$ предикат является тождеством:
а) $$(x
б) $$((x-1)(x-a)?0)?((x-1)(x-2)>0)$$;
в) $$((x-1)(x-2)?0)?((x-1)(x-a)>0)$$;
г) $$((x-1)(x-a)?0;?((x-a)(x-2)>0)$$;
д) $$((x-2)(x-a)?0)>((x-3)(x-1)?0)$$;
е) $$((x-2)(x-a)<0)>((x-2a)(x-1)?0)$$.
а) Предикат $$\bigl(x<a\bigr)\cup\bigl(x-2>0\bigr)$$ является тождеством, если для любого $$x$$ выполняется хотя бы одно из условий.
Так как $$x-2>0$$ при $$x>2$$, то чтобы объединение было истинно при всех $$x$$, нужно, чтобы при $$x\le 2$$ выполнялось $$x<a$$. Это возможно тогда и только тогда, когда $$a>2$$.
б) Имеем:
$$\bigl((x-1)(x-a)\le 0\bigr)\cup\bigl((x-1)(x-2)>0\bigr).$$
Неравенство $$(x-1)(x-2)>0$$ выполняется при $$x<1$$ или $$x>2$$.
Чтобы объединение было тождеством, промежуток $$1\le x\le 2$$ должен целиком входить в множество решений неравенства $$(x-1)(x-a)\le 0$$. Это происходит при $$a\ge 2$$.
в) Рассмотрим:
$$\bigl((x-1)(x-2)\le 0\bigr)\cup\bigl((x-1)(x-a)>0\bigr).$$
Первое неравенство даёт $$1\le x\le 2$$. Второе выполняется при $$x<1$$ или $$x>a$$.
Чтобы объединение было тождеством, нужно, чтобы все $$x>2$$ попадали во второе множество, то есть $$a\le 2$$, и чтобы все $$x<1$$ тоже попадали во второе множество. Это возможно при $$a\ge 1$$.
Следовательно, $$1\le a\le 2$$.
г) Имеем:
$$\bigl((x-1)(x-a)\le 0\bigr)\cup\bigl((x-a)(x-2)>0\bigr).$$
Первое неравенство даёт $$1\le x\le a$$, а второе — $$x<2$$ или $$x>a$$.
Чтобы объединение было тождеством, достаточно, чтобы промежуток между корнями не оставлял «пробелов». Это выполняется при $$a\ge 2$$.
д) Рассмотрим импликацию:
$$\bigl((x-2)(x-a)\ge 0\bigr)\to \bigl((x-3)(x-1)\ge 0\bigr).$$
Импликация ложна только тогда, когда посылка истинна, а следствие ложно. Поэтому нужно, чтобы не существовало $$x$$, для которого
$$(x-2)(x-a)\ge 0,\qquad (x-3)(x-1)<0.$$
Второе неравенство выполняется при $$1<x<3$$. Тогда требуется, чтобы на этом промежутке не было решений первого неравенства. Но при любом действительном $$a$$ такие решения существуют, поэтому тождества нет.
е) Рассмотрим:
$$\bigl((x-2)(x-a)<0\bigr)\to \bigl((x-2a)(x-1)\le 0\bigr).$$
Импликация ложна, если
$$(x-2)(x-a)<0,\qquad (x-2a)(x-1)>0.$$
Первое неравенство даёт промежуток между числами $$2$$ и $$a$$, второе — $$x<1$$ или $$x>2a$$. Чтобы импликация была тождеством, нужно, чтобы таких $$x$$ не существовало. Это выполняется при $$a\ge 1$$.
Ответ
а) $$a>2$$; б) $$a\ge 2$$; в) $$1\le a\le 2$$; г) $$a\ge 2$$; д) $$\varnothing$$; е) $$a\ge 1$$.
