Упр.1088 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

Задача

а) (x < a)?(x-2 > 0);
б) ((x-1)(x-a)?0)?((x-1)(x-2) > 0);
в) ((x-1)(x-2)?0)?((x-1)(x-a) > 0);
г) ((x-1)(x-a)?0;?((x-a)(x-2) > 0);
д) ((x-2)(x-a)?0) > ((x-3)(x-1)?0);
е) ((x-2)(x-a) < 0) > ((x-2a)(x-1)?0)?

Подробный ответ

а) Предикат $$\bigl(x<a\bigr)\cup\bigl(x-2>0\bigr)$$ является тождеством, если для любого $$x$$ выполняется хотя бы одно из условий.
Так как $$x-2>0$$ при $$x>2$$, то чтобы объединение было истинно при всех $$x$$, нужно, чтобы при $$x\le 2$$ выполнялось $$x<a$$. Это возможно тогда и только тогда, когда $$a>2$$.
б) Имеем:
$$\bigl((x-1)(x-a)\le 0\bigr)\cup\bigl((x-1)(x-2)>0\bigr).$$
Неравенство $$ (x-1)(x-2)>0 $$ выполняется при $$x<1$$ или $$x>2$$.
Чтобы объединение было тождеством, промежуток $$1\le x\le 2$$ должен целиком входить в множество решений неравенства $$ (x-1)(x-a)\le 0 $$. Это происходит при $$a\ge 2$$.
в) Рассмотрим:
$$\bigl((x-1)(x-2)\le 0\bigr)\cup\bigl((x-1)(x-a)>0\bigr).$$
Первое неравенство даёт $$1\le x\le 2$$. Второе выполняется при $$x<1$$ или $$x>a$$.
Чтобы объединение было тождеством, нужно, чтобы все $$x>2$$ попадали во второе множество, то есть $$a\le 2$$, и чтобы все $$x<1$$ тоже попадали во второе множество. Это возможно при $$a\ge 1$$.
Следовательно, $$1\le a\le 2$$.
г) Имеем:
$$\bigl((x-1)(x-a)\le 0\bigr)\cup\bigl((x-a)(x-2)>0\bigr).$$
Первое неравенство даёт $$1\le x\le a$$, а второе — $$x<2$$ или $$x>a$$.
Чтобы объединение было тождеством, достаточно, чтобы промежуток между корнями не оставлял «пробелов». Это выполняется при $$a\ge 2$$.
д) Рассмотрим импликацию:
$$\bigl((x-2)(x-a)\ge 0\bigr)\to \bigl((x-3)(x-1)\ge 0\bigr).$$
Импликация ложна только тогда, когда посылка истинна, а следствие ложно. Поэтому нужно, чтобы не существовало $$x$$, для которого
$$ (x-2)(x-a)\ge 0,\qquad (x-3)(x-1)<0. $$
Второе неравенство выполняется при $$1<x<3$$. Тогда требуется, чтобы на этом промежутке не было решений первого неравенства. Но при любом действительном $$a$$ такие решения существуют, поэтому тождества нет.
е) Рассмотрим:
$$\bigl((x-2)(x-a)<0\bigr)\to \bigl((x-2a)(x-1)\le 0\bigr).$$
Импликация ложна, если
$$ (x-2)(x-a)<0,\qquad (x-2a)(x-1)>0. $$
Первое неравенство даёт промежуток между числами $$2$$ и $$a$$, второе — $$x<1$$ или $$x>2a$$. Чтобы импликация была тождеством, нужно, чтобы таких $$x$$ не существовало. Это выполняется при $$a\ge 1$$.