Упр.1087 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

а) !(x^2-2x-3?0)?(x^2+1?0);
б) (x^2-2x-3?0)?(x^2+1 < 0); в) (x^2-2x-3?0)?!(x^2+x < 0); г) !(x^2-2x-3?0)?(x^2+x < 0)?(|x|?2).

1. а) Рассмотрим дизъюнкцию:

   $$\left(x^2-2x-3>0\right)\cup\left(x^2+1<0\right).$$

   Так как $$x^2+1<0$$ не имеет решений, остаётся решить неравенство

   $$x^2-2x-3>0.$$

   Разложим на множители:

   $$x^2-2x-3=(x+1)(x-3).$$

   Тогда

   $$ (x+1)(x-3)>0, $$

   откуда

   $$x<-1 \quad \text{или} \quad x>3.$$

2. б) Рассмотрим конъюнкцию:

   $$\left(x^2-2x-3\ge 0\right)\cap\left(x^2+1<0\right).$$

   Неравенство $$x^2+1<0$$ не имеет решений, значит пересечение пусто:

   $$\varnothing.$$

3. в) Рассмотрим конъюнкцию:

   $$\left(x^2-2x-3\ge 0\right)\cap\left(x^2+x<0\right).$$

   Первое неравенство:

   $$x^2-2x-3\ge 0,$$

   $$ (x+1)(x-3)\ge 0, $$

   откуда

   $$x\le -1 \quad \text{или} \quad x\ge 3.$$

   Второе неравенство:

   $$x^2+x<0,$$

   $$x(x+1)<0,$$

   откуда

   $$-1<x<0.$$

   Пересечение множеств решений пусто:

   $$\varnothing.$$

4. г) Рассмотрим выражение:

   $$\left(x^2-2x-3>0\right)\cup\left(x^2+x<0\right)\cap\left(|x|\le 2\right).$$

   Сначала найдём решения неравенств:

   $$x^2-2x-3>0 \;\Rightarrow\; x<-1 \text{ или } x>3,$$

   $$x^2+x<0 \;\Rightarrow\; -1<x<0,$$

   $$|x|\le 2 \;\Rightarrow\; -2\le x\le 2.$$

   Тогда

   $$\left(-1<x<0\right)\cap\left(-2\le x\le 2\right)= -1<x<0.$$

   Объединяем с решением первого неравенства:

   $$\left(x<-1 \text{ или } x>3\right)\cup\left(-1<x<0\right).$$

   С учётом условия $$|x|\le 2$$ остаётся

   $$-2\le x<0.$$

Ответ

а) $$(-1;3)$$

б) $$\varnothing$$

в) $$\varnothing$$

г) $$[-2;0)$$