Упр.1084 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

Задача

Найдите область значений функции: а) $$y=1+\sin(x)$$; б) $$y=1-\cos(x)$$; в) $$y=1-|\cos(x)|$$.
Докажите, что при любых истинностных значениях высказываний $$A$$, $$B$$ и $$C$$: а) высказывание $$(A?(A>B))>B$$ истинно; б) высказывание $$((A>B)?!B)>!A$$ истинно; в) $$(B?C)?(A?!C)=(A?B)?C$$; г) $$!(A?B)>(!B?A)=A$$.

Подробный ответ

Используем свойства логических операций: $$A \to B \equiv \neg A \vee B,$$ $$\neg(A \vee B)\equiv \neg A \wedge \neg B,$$ $$\neg(A \wedge B)\equiv \neg A \vee \neg B,$$ а также законы поглощения и коммутативности.

$$A \wedge (A \to B)=A \wedge (\neg A \vee B)=(A \wedge \neg A)\vee(A \wedge B)=A \wedge B.$$
Тогда
$$\bigl(A \wedge (A \to B)\bigr)\to B=(A \wedge B)\to B=T.$$
Значит, высказывание истинно при любых значениях $$A$$ и $$B$$.
$$((A \to B)\wedge \neg B)\to \neg A=((\neg A \vee B)\wedge \neg B)\to \neg A.$$
Раскроем скобки:
$$((\neg A \wedge \neg B)\vee(B\wedge \neg B))\to \neg A=(\neg A \wedge \neg B)\to \neg A.$$
Так как $$\neg A \wedge \neg B \Rightarrow \neg A,$$ то
$$((A \to B)\wedge \neg B)\to \neg A=T.$$
Рассмотрим левую часть:
$$(B \vee C)\vee(A\wedge \neg C).$$
Если $$C$$ истинно, то $$B\vee C=T,$$ значит вся левая часть равна $$T$$.
Если $$C$$ ложно, то $$\neg C=T$$ и
$$(B \vee C)\vee(A\wedge \neg C)=(B\vee F)\vee(A\wedge T)=B\vee A.$$
Правая часть при $$C=F$$:
$$(A\vee B)\vee C=(A\vee B)\vee F=A\vee B.$$
В обоих случаях получаем одно и то же значение, значит
$$(B\vee C)\vee(A\wedge \neg C)=(A\vee B)\vee C.$$
$$\neg(A\wedge B)\to(\neg B\wedge A)=A.$$
Преобразуем левую часть:
$$\neg(A\wedge B)\to(\neg B\wedge A)=\bigl(\neg A\vee \neg B\bigr)\to(\neg B\wedge A).$$
По определению импликации:
$$\bigl(\neg A\vee \neg B\bigr)\to(\neg B\wedge A)=\neg(\neg A\vee \neg B)\vee(\neg B\wedge A).$$
Тогда
$$(A\wedge B)\vee(\neg B\wedge A)=A\wedge(B\vee \neg B)=A\wedge T=A.$$
Что и требовалось доказать.