Упр.1083 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

a) (a_n) — арифметическая прогрессия;
б) (a_n) — геометрическая прогрессия.

а) Арифметическая прогрессия. Пусть $$a_n=a_1+(n-1)d.$$ Тогда

$$a_{m+n}=a_1+(m+n-1)d=60,$$
$$a_{m-n}=a_1+(m-n-1)d=15.$$

Сложим эти равенства:

$$2a_1+(2m-2)d=75.$$

Но

$$a_m=a_1+(m-1)d,$$

значит

$$2a_m=75,$$
$$a_m=37{,}5.$$

б) Геометрическая прогрессия. Пусть $$a_n=a_1q^{\,n-1}.$$ Тогда

$$a_{m+n}=a_1q^{m+n-1}=60,$$
$$a_{m-n}=a_1q^{m-n-1}=15.$$

Перемножим эти равенства:

$$a_1^2q^{2m-2}=60\cdot 15=900.$$

Но

$$a_m=a_1q^{m-1},$$

следовательно

$$a_m^2=900,$$
$$a_m=\pm 30.$$

Ответ

а) $$37{,}5$$; б) $$30$$ или $$-30$$.