Упр.1077 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

1. Является ли периодической функция:
   а) $$y=\sin|x|$$;
   б) $$y=|\sin(x)|$$;
   в) $$y=\cos^2(x)$$?
2. Определите, истинным или ложным является высказывание:
   а) $$!(3^{1/3}-v2?0)?(?/3-1)$$;
   б) $$!(\operatorname{sgn}(3^{1/3}-v5)?0)?([?]<3)$$; в) $$({3^{1/3}-v5}>0)>([1+v2]=2)$$;
   г) $$((22?/3<23)?(22?/3>24))>!(v(3+2v2)-1=v2)$$.

1. а) $$\overline{\left(\sqrt[3]{3}-\sqrt{2}\le 0\right)\cap\left(\frac{\pi}{3}<1\right)}$$

   Так как $$\sqrt[3]{3}\approx 1{,}44,\quad \sqrt{2}\approx 1{,}41,$$ то

   $$\sqrt[3]{3}-\sqrt{2}>0,$$

   значит, высказывание $$\sqrt[3]{3}-\sqrt{2}\le 0$$ ложно.

   Кроме того, $$\frac{\pi}{3}\approx 1{,}05>1,$$ поэтому высказывание $$\frac{\pi}{3}<1$$ тоже ложно.

   Тогда конъюнкция ложна, а её отрицание истинно:

   $$\overline{Л\cap Л}=И.$$

   Следовательно, исходное высказывание ложно.

2. б) $$\overline{\left(\operatorname{sgn}\left(\sqrt[3]{3}-\sqrt{5}\right)\le 0\right)\cup([\pi]<3)}$$

   Так как $$\sqrt[3]{3}\approx 1{,}44,\quad \sqrt{5}\approx 2{,}24,$$ то

   $$\sqrt[3]{3}-\sqrt{5}<0,$$

   значит,

   $$\operatorname{sgn}\left(\sqrt[3]{3}-\sqrt{5}\right)=-1,$$

   и неравенство $$-1\le 0$$ истинно.

   Также $$[\pi]=3,$$ поэтому $$[\pi]<3$$ ложно.

   Тогда

   $$И\cup Л=И,$$

   а отрицание даёт ложь:

   $$\overline{И}=Л.$$

   Следовательно, высказывание ложно.

3. в) $$\left(\left(\sqrt[3]{3}-\sqrt{5}>0\right)\to\left([1+\sqrt{2}]=2\right)\right)$$

   Так как $$\sqrt[3]{3}-\sqrt{5}<0,$$ то высказывание $$\sqrt[3]{3}-\sqrt{5}>0$$ ложно.

   Кроме того, $$1+\sqrt{2}\approx 2{,}41,$$ значит, $$[1+\sqrt{2}]=2,$$ то есть это высказывание истинно.

   Получаем импликацию:

   $$Л\to И=И.$$

   Следовательно, высказывание истинно.

4. г) $$\left(\left(\frac{22\pi}{3}<23\right)\cup\left(\frac{22\pi}{3}>24\right)\right)\to\left(\sqrt{3+2\sqrt{2}}-1=\sqrt{2}\right)$$

   Оценим левую часть:

   $$\frac{22\pi}{3}\approx 23{,}04,$$

   поэтому $$\frac{22\pi}{3}<23$$ — ложь, а $$\frac{22\pi}{3}>24$$ — тоже ложь.

   Значит,

   $$Л\cup Л=Л.$$

   Проверим правую часть:

   $$3+2\sqrt{2}=(1+\sqrt{2})^2,$$

   следовательно,

   $$\sqrt{3+2\sqrt{2}}=1+\sqrt{2}.$$

   Тогда

   $$\sqrt{3+2\sqrt{2}}-1=\sqrt{2},$$

   то есть правая часть истинна.

   Получаем импликацию:

   $$Л\to И=И.$$

   Следовательно, высказывание истинно.

Ответ

а) ложно; б) ложно; в) истинно; г) истинно.